Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 3
a) Encontre derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando e derive para obter em função de .
c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para em sua solução para a parte (a).
Passo 1
Este é uma questão importante pois compara dois métodos distintos de derivação: as derivadas implícita e explícita. O enunciado fornece uma equação em é dado implicitamente em função de . No item (a) é pedido que se derive implicitamente encontrando em função de e . No item (b) é pedido que se isole para obter como função de explicitamente e daí efetuar a derivadam encontrando apenas em função de . No item (c) é pedido para se comparar as respostas dos outros dois itens e verificar se elas são consistentes.
Passo 2
Neste passo vamos resolver o item (a). Vamos derivar a equação dada com relação a . É importante lembrar que não podemos tratar como uma constante: ele depede de e também deve ser derivado!!!
Derivando a equação com relação a :
Isolando , temos que
Passo 3
Neste passo vamos resolver parte do item (b). Vamos isolar em função de na equação fornecida:
Multiplicando em cruz:
Assim, temos que
Passo 4
Neste item vamos terminar de resolver o item (b). Derivando a expressão encontrada no passo 3 pela regra do quociente:
Passo 5
Para encerrar, vamos fazer o item (c). Substituindo a expressão encontrada para no passo 3 na expressão encontrada no passo 2, temos que:
Assim, temos que
que de fato é a expressão encontrada no passo 4 (item (b)).
Resposta
a)
b) e
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