Enunciado

a) Encontre y ' derivando implicitamente.

b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .

c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para y em sua solução para a parte (a).

1 x + 1 y = 1

Passo 1

Este é uma questão importante pois compara dois métodos distintos de derivação: as derivadas implícita e explícita. O enunciado fornece uma equação em y é dado implicitamente em função de x . No item (a) é pedido que se derive y implicitamente encontrando y ' em função de x e y . No item (b) é pedido que se isole y para obter y como função de x explicitamente e daí efetuar a derivadam encontrando y ' apenas em função de x . No item (c) é pedido para se comparar as respostas dos outros dois itens e verificar se elas são consistentes.

Passo 2

Neste passo vamos resolver o item (a). Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Derivando a equação x - 1 + y - 1 = 1 com relação a x :

- 1 ⋅ x - 2 + - 1 ⋅ y - 2 ⋅ y ' = 0

- x - 2 - y - 2 y ' = 0

Isolando y ' , temos que

y - 2 y ' = - x - 2

y ' = - x - 2 y - 2 = - y 2 x 2

Passo 3

Neste passo vamos resolver parte do item (b). Vamos isolar y em função de x na equação fornecida:

1 y = 1 - 1 x =   x - 1 x

Multiplicando em cruz:

y x - 1 = x

Assim, temos que

y = x x - 1

Passo 4

Neste item vamos terminar de resolver o item (b). Derivando a expressão encontrada no passo 3 pela regra do quociente:

y ' = x ' ⋅ x - 1 - x ⋅ ( x - 1 ) ' x - 1 2 = x - 1 - x x - 1 2 = - 1 x - 1 2

Passo 5

Para encerrar, vamos fazer o item (c). Substituindo a expressão encontrada para y no passo 3 na expressão encontrada y ' no passo 2, temos que:

y ' = - x x - 1 2 x 2 = - x 2 x 2   x - 1 2

Assim, temos que

y ' = - 1 x - 1 2 ,

que de fato é a expressão encontrada no passo 4 (item (b)).

Resposta

a) y ' = - y 2 x 2

b) y = x x - 1 e y ' = - 1 x - 1 2

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Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoi) x e y + x y = 3
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãom) 2 y + sen ⁡ y = x
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoc) x y 2 + 2 y = 3
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãog) x 2 + y 2 + 2 y = 0