Encontre \partial w / \partial r quando r = 1 , s = -1 se w = (x + y + z)^2 , x = r - s , y = cos(r + s) , z = sen(r + s) .

Passo 1

Oi galerinha, para encontrarmos ∂ w / ∂ r , precisamos relembrar a equação da Regra da Cadeia neste caso:

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ r + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ r

Então, primeiro iremos encontrar a derivada da função:

w = x + y + z 2

Neste caso as derivadas para x , y e z , serão iguais:

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ y = ∂ w ∂ z = 2 x + y + z

Substituindo pelas equações do enunciado x = r - s                   y = cos ⁡ r + s z = sen ⁡ r + s :

= 2 r - s + cos ⁡ r + s + sen ⁡ r + s

Sabendo que r = 1       s = - 1

= 2 1 - ( - 1 ) + cos ⁡ 1 - 1 + sen ⁡ 1 - 1

= 2 2 + cos ⁡ 0 + sen ⁡ 0

= 2 2 + 1 + 0 = 2 ∙ 3

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ y = ∂ w ∂ z = 6

Passo 2

Agora iremos fazer a derivadas ∂ x / ∂ r , ∂ y / ∂ r e ∂ z / ∂ r , para isso precisamos relembrar que:

y = cos ⁡ u → y ' = - u ' sen ⁡ u y = sen ⁡ u → y ' = u ' cos ⁡ u      

Sabemos que x = r - s , logo:

∂ x ∂ r = 1

Para y = cos ⁡ r + s :

∂ y ∂ r = - sen ⁡ r + s = - sen ⁡ 1 - 1

∂ y ∂ r = 0

E para z = sen ⁡ r + s :

∂ z ∂ r = cos ⁡ r + s = cos ⁡ 1 - 1

∂ z ∂ r = 1

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

∂ w ∂ r = 6 ∙ 1 + 6 ∙ 0 + 6 ∙ 1 = 6 + 6

∂ w ∂ r = 12

Tchau pessoal, espero te ver em breve.

Resposta

∂ w ∂ r = 12

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