Enunciado

Encontre f .

f ' ' ( x ) = - 2 + 12 x - 12 x^2 , f (0) = 4 e f^' (0) = 12

Passo 1

Vamos calcular primeiro f ' ( x ) , que é a primitiva de f ' ' ( x ) .

Bom, pra fazer primitiva de polinômio, a gente segue a “regrinha” que é:

f^' (x) = x^n -> f (x) = (x^(n + 1))/(n + 1)

Então, a primitiva de f ' ' ( x ) nesse caso fica:

f^' (x) = - (2 (x^(0 + 1)))/(0 + 1) + (12 x^(1 + 1))/(1 + 1) - (12 x^(2 + 1))/(2 + 1)

f^' (x) = - 2 x + (12 x^2)/(2) - (12 x^3)/(3)

f^' (x) = - 2 x + 6 x^2 - 4 x^3 + C

(lembre-se de somar a constante)

Como f^' (0) = 12 , vamos substituir para achar o valor de C ...

f^' (0) = - 2 (0) + 6 (0^2) - 4 (0^3) + C = 12

C = 12

Então, f^' (x) = - 2 x + 6 x^2 - 4 x^3 + 12 .

Passo 2

Vamos calcular f (x) agora. E só fazer o mesmo processo com f^' (x) ...

f (x) = - (2 (x^2))/(2) + (6 x^3)/(3) - (4 x^4)/(4) + (12 x)/(1)

f (x) = - x^2 + 2 x^3 - x^4 + 12 x + C

Agora é só substituir f (0) = 4 para achar o valor de C ...

f (0) = - 0^2 + 2 (0^3) - 0^4 + 12 (0) + C = 4

C = 4

Então...

f (x) = - x^4 + 2 x^3 - x^2 + 12 x + 4

Prontinho😊

Resposta

f (x) = - x^4 + 2 x^3 - x^2 + 12 x + 4

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