Enunciado

Encontre f .

f^(' ' ') (t) = sqrt(t) - 2 cos t

Passo 1

Vamos lá, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F^' (x) = f (x)

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F (x) + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada três vezes, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função retirando a raíz:

f^(' ' ') (t) = sqrt(t) - 2 cos t = t^((1)/(2)) - 2 cos t

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função geral x^n com n != 1 , de c f (x) , de uma constante, de sen x e de cos x são da forma:

(x^(n + 1))/(n + 1)

c F (x)

c x

- cos x

sen x

Agora é só aplicar:

f^(' ') (t) = (t^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) - 2 sen t + C = (t^((3)/(2)))/((3)/(2)) - 2 sen t + C = (2)/(3) t^((3)/(2)) - 2 sen t + C

Passo 3

Vamos agora vamos mais uma vez, dessa vez aplicando em f^' ' (t) , usando as fórmulas de antiderivada do passo 2 : (2)/(3) t^((3)/(2)) - 2 sen t + C

f^' (t) = (2)/(3) * (t^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1) - 2 (- cos t) + C t + D = (2)/(3) * (t^((5)/(2)))/((5)/(2)) + 2 cos t + C t + D = (2)/(3) * (2)/(5) * t^((5)/(2)) + 2 cos t + C t + D = (4 t^((5)/(2)))/(15) + 2 cos t + C t + D

Passo 4

Agora vamos fazer uma última vez, dessa vez aplicando em f^' (t) , usando as fórmulas de antiderivada do passo 2 :

f (t) = (4)/(15) * (t^((5)/(2) + 1))/((5)/(2) + 1) + 2 sen t + C (t^(1 + 1))/(1 + 1) + D t + E = (4)/(15) * (t^((7)/(2)))/((7)/(2)) + 2 sen t + C (t^2)/(2) + D t + E = (4)/(15) * (2)/(7) * t^((7)/(2)) + 2 sen t + (C t^2)/(2) + D t + E = (8 t^((7)/(2)))/(1 0 5) + 2 sen t + (C t^2)/(2) + D t + E

Pronto, achamos f !!

Resposta

f (t) = (8 t^((7)/(2)))/(105) + 2 sen t + (C t^2)/(2) + D t + E

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula. a t = 3c o s t - 2s e nt , s 0 = 0 , v 0 = 4
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f x = 4 + x 2 - 5 x 3
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f x = 2 x + 5 1 - x 2 - 1 / 2
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f x = x 20 + 4 x 10 + 8
Encontre f .f^(' ') (x) = cos x