Encontre f .

f''(x) = 1 / x^2

Passo 1

Vamos lá, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada duas vezes, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função tirando o denominador:

f ' ' x = 1 x 2 = x - 2

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função geral x n com n ≠ 1 , de c f x , de uma constante e de 1 x são da forma:

x n + 1 n + 1

c F x

c x

ln ⁡ x

Agora é só aplicar:

f ' x = x - 2 + 1 - 2 + 1 + C = x - 1 - 1 + C = - x - 1 + C = - 1 x + C

Passo 3

Vamos agora vamos mais uma vez, dessa vez aplicando em f ' x , usando as fórmulas de antiderivada do passo 2 :

f x = - ln ⁡ x + C x + D

Pronto, achamos f !!

Resposta

f x = - ln ⁡ x + C x + D

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