Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = (1)/(x^2)

Passo 1

Vamos lá, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F^' (x) = f (x)

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F (x) + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada duas vezes, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função tirando o denominador:

f^(' ') (x) = (1)/(x^2) = x^(- 2)

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função geral x^n com n != 1 , de c f (x) , de uma constante e de (1)/(x) são da forma:

(x^(n + 1))/(n + 1)

c F (x)

c x

ln x

Agora é só aplicar:

f^' (x) = (x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = (x^(- 1))/(- 1) + C = - x^(- 1) + C = - (1)/(x) + C

Passo 3

Vamos agora vamos mais uma vez, dessa vez aplicando em f^' (x) , usando as fórmulas de antiderivada do passo 2 :

f (x) = - ln x + C x + D

Pronto, achamos f !!

Resposta

f (x) = - ln x + C x + D

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