Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = e^x - 2 sen x , f (0) = 3 , f ((pi)/(2)) = 0

Passo 1

Vamos lá, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F^' (x) = f (x)

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F (x) + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada duas vezes, vamos lá!

Passo 2

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função sen x , de cos x , de c f (x) e de e^x são da forma:

- cos x

sen x

c F (x)

x e^x

Agora é só aplicar:

f^' (x) = e^x - 2 (- cos x) + C = e^x + 2 cos x + C

Passo 3

Vamos agora vamos mais uma vez, dessa vez aplicando em f^' (x) , usando as fórmulas de antiderivada do passo 2 :

f (x) = e^x + 2 sen x + C x + D

Passo 4

Por último é só vamos aplicar os pontos f (0) = 3 e f ((pi)/(2)) = 0 para achar o valor de C e D , vamos lá:

f (x) = e^x + 2 sen x + C x + D -> f (0) = e^0 + 2 sen 0 + C * 0 + D = 3 ->

1 + D = 3 -> D = 2

f (x) = e^x + 2 sen x + C x + D -> f ((pi)/(2)) = e^((pi)/(2)) + 2 sen (pi)/(2) + C * (pi)/(2) + D = 0 ->

e^((pi)/(2)) + 2 * 1 + (pi)/(2) C + 2 = 0 -> C = (- 4 - e^((pi)/(2)))/((pi)/(2)) = - (2)/(pi) (4 + e^((pi)/(2)))

Substituindo o valor de C e D na expressão:

f (x) = e^x + 2 sen x + C x + D = e^x + 2 sen x + - (2)/(pi) (4 + e^((pi)/(2))) x + 2

Pronto, achamos f !!

Resposta

f (x) = e^x + 2 sen x + - (2)/(pi) (4 + e^((pi)/(2))) x + 2

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