Enunciado

30. Se f t = sec ⁡ ( t ) , encontre f ' ' ( π / 4 )

Passo 1

Oiee simbora moçadinhaa

A função secante é definida como o recíproco da função cosseno.

Matematicamente, é representada como sec ⁡ ( t ) = 1 cos ⁡ ( t )

Ela descreve o comprimento da hipotenusa dividido pelo comprimento do cateto adjacente em um triângulo retângulo, onde o ângulo t é um dos ângulos agudos.

Para encontrar a derivada da função secante sec ⁡ ( t ) , utilizamos a regra do quociente.

Se y = sec ⁡ ( t ) , então a sua derivada é dada por:

d y d t = sec ⁡ ( t ) tan ⁡ ( t )

Isso pode ser derivado utilizando-se a identidade trigonométrica sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t e a derivada da função tangente, t a n ' t = sec 2 ⁡ ( t ) .

Para encontrar a segunda derivada de f t = sec ⁡ ( t ) , precisamos diferenciar novamente a primeira derivada.

Isso nos leva a aplicar a regra do produto mais uma vez, o que resulta na expressão:

      f ' ' t = sec ⁡ t t a n 2 t + sec ⁡ ( t ) s e c 2   ( t )

Para encontrar o valor da segunda derivada em um ponto específico, substituímos esse ponto na expressão da segunda derivada.

Por exemplo, se queremos avaliar f ' ' π 4 substituímos t = π 4 na expressão f ' ' ( t ) que obtivemos anteriormente.

A função secante está relacionada com o conceito de ângulos em um círculo unitário e o comprimento das hipotenusas em triângulos retângulos associados a esses ângulos.

A derivada e a segunda derivada nos dão informações sobre a taxa de mudança desses comprimentos em relação ao ângulo.

Passo 2

Precisamos derivar duas vezes a função e então aplicar essa derivada no ponto.

Aplicando a derivada na função:

f ' t = d d t sec ⁡ t

A derivada da secante é a secante vezes a tangente:

f ' t = sec ⁡ t ⋅ t g ( t )

Precisamos derivar mais uma vez:

f ' ' t = d d t sec ⁡ t ⋅ t g ( t )

Precismos usar a regra do produto para derivar a função, a derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro:

f ' ' t = d d t sec ⁡ t ⋅ t g ( t ) + d d t t g ( t ) ⋅ sec ⁡ t

Passo 3

A derivada da tangente é a secante ao quadrado e a derivada da secante já usamos ali em cima:

f ' ' t = sec ⁡ t ⋅ t g ( t ) ⋅ tg ⁡ ( t ) + sec 2 ⁡ t ⋅ sec ⁡ t

Isolando a sec ⁡ t :

f ' ' t = sec 2 ⁡ ( t ) + tg 2 ⁡ ( t ) ⋅ sec ⁡ t

Podemos usar a relação:

sec 2 ( ⁡ t ) = 1 + tg 2 ⁡ ( t )

E substituir a secante ao quadrado da expressão:

f ' ' t = 1 + tg 2 ⁡ ( t ) + tg 2 ⁡ ( t ) ⋅ sec ⁡ t

f ' ' t = 1 + 2 tg 2 ⁡ ( t ) ⋅ sec ⁡ t

Passo 4

Também podemos escrever que a secante é 1 sobre o cosseno:

f ' ' t = 1 + 2 tg 2 ⁡ ( t ) cos ⁡ ( t )

Agora sim, podemos aplicar a deriva em t = π / 4

f ' ' π / 4 = 1 + 2 tg 2 ⁡ ( π / 4 ) cos ⁡ ( π / 4 )

A tangente de π / 4 é igual a 1 e o cosseno de π / 4 é igual a 2 / 2 :

f ' ' π / 4 = 1 + 2 1 2 2 / 2

f ' ' π / 4 = 3 ⋅ 2 2

Passo 5

Multilicando por 2 em cima e embaixo:

f ' ' π / 4 = 6 ⋅ 2 2 ⋅ 2

f ' ' π / 4 = 6 ⋅ 2 2

Então a derivada segunda aplicada a π / 4 fica:

f ' ' π / 4 = 3 2

Resposta

f ' ' π / 4 = 3 2

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