Enunciado

51 – 54 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

54.

y = x e - x 2   ,   0,0

Passo 1

Fala aí. Tudo belezinha com você?

Bom, essa questão pede pra gente encontrar uma equação da reta tangente à curva da função:

y = x e - x 2

No ponto:

0,0

E pra isso precisamos lembrar que a definição da derivada de uma função em um ponto específico é, justamente, o coeficiente angular da reta tangente a curva da função nesse ponto.

E a equação de uma reta em um ponto específico é:

y - y o = m x - x o

Sendo m seu coeficiente angular. Sendo assim:

m = y ' x 0 , y 0

Então, basta encontrarmos a derivada da curva no ponto dado e fazer a substituição na equação da reta tangente.

Vem que te ajudo com isso.

Passo 2

Vamos fazer a derivada da curva no ponto, sendo:

y = x e - x 2

Opa!

Essa função aí não é tão simples de derivar não. Vamos com mais calma aqui. Beleza!

Perceba que essa função é formada por uma multiplicação de duas outras funções. Podemos pensar nelas como sendo:

u = x

E

v = e - x 2

E nossa função está sendo vista com

y = u ⋅ v

Sendo assim, sua derivada deve ser calculada usando a regra do produto.

Sendo:

y ' = u ' v + u v '

Então precisaremos das funções u , v e de suas derivadas. Vamos derivar cada uma delas pra depois jogar nessa fórmula aí. Show!

Passo 3

Sendo

u = x

Sua derivada é bem simples, e se dá pela regra do expoente. Com

u ' = 1

Já para

v = e - x 2

Temos aqui uma função composta, pois a exponencial pode ser pensada como

f g x = e g x

Então sua derivada será calculada pela regra da cadeia.

f g x ' = f ' g ⋅ g ' x

Ou seja, a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.

v ' = e g ' ⋅ g ' x

Como estamos fazendo g x = - x 2

Sua derivada será: g ' x = - 2 x

Então:

v ' = e - x 2 ⋅ - 2 x

Ou melhor:

v ' = - 2 e - x 2

Show, agora vamos voltar para a regra do produto.

Passo 4

Até aqui temos:

y = x e - x 2

u = x

Com

u ' = 1

E

v = e - x 2

Com

v ' = - 2 e - x 2

Sendo assim, sua derivada deve ser calculada usando a regra do produto.

Sendo:

y ' = u ' v + u v '

Substituindo teremos

y ' = 1 ⋅ e - x 2 + e - x 2 ⋅ - 2 x ⋅ x

Isolando e - x 2 :

y ' = e - x 2 1 - 2 x 2

Perfeito!!!

Aplicando no ponto dado: ( 0 ,   0 )

y ' 0 = e - 0 2 1 - 2 0 2

y ' 0 = 1 1 - 0

O coeficiente angular da nossa reta é:

m = y ' 0 = 1

Passo 5

Agora basta substituir o ponto e o coenficiente angular na equação da reta tangente.

Sendo

y - y o = m x - x o

y - 0 = 1 ( x + 0 )

A equação da reta fica:

y = x

Prontinho, temos a nossa resposta.

Resposta

y = x

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Seja g: R → R diferenciável e seja f dada por f x = xg x 2 . Calcule f ' 1 supondo g 1 = 4 e g ' 1 = 2 .
Seja y = y (r) derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que(d)/(d r) (y^2 (d y)/(d r)) = 2 y ((d y)/(d r))^2 + y^2 (d^2 y)/(d r^2)
Derive.g) y = cossec 2 x
Seja g: R → R diferenciável e seja f dada por f x = xg x 2 . Verifique que f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2