Enunciado

Encontre f .

f^' (t) = 3^t - (3)/(t) , f (1) = 2 , f (- 1) = 1

Passo 1

Vamos lá, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F^' (x) = f (x)

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F (x) + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada uma vez, vamos lá!

Passo 2

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função (1)/(x) , de c f (x) e de a^x são da forma:

ln x

c F (x)

(a^x)/(ln a)

Agora é só aplicar:

f (t) = (3^x)/(ln 3) - 3 ln t + C

Passo 3

Por último é só vamos aplicar o ponto f (1) = 2 para achar o valor de C , vamos lá:

f (t) = (3^x)/(ln 3) - 3 ln t + C -> f (1) = (3^1)/(ln 3) - 3 ln 1 + C = 2 -> (3)/(ln 3) - 3 * 0 + C = 2 ->

C = 2 - (3)/(ln 3)

Substituindo o valor de C na expressão:

f (t) = (3^x)/(ln 3) - 3 ln t + C = (3^x)/(ln 3) - 3 ln t + 2 - (3)/(ln 3)

Pronto, achamos f !!

Resposta

f (t) = (3^x)/(ln 3) - 3 ln t + 2 - (3)/(ln 3)

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