Enunciado

Encontre o ângulo agudo entre as retas.

2 x - y = 3 , 3 x + y = 7

Passo 1

Para resolvermos esse problema, utilizamos a formula:

cos theta = (a * b)/(|a| |b|)

“Ah mas não temos os vetores”, temos sim, olha só! A linha 2 x - y = 3 :. y = 2 x - 3 , tem a inclinação 2 , então um vetor paralelo à linha é a = < 1 , 2 > .

Já a linha 3 x + y = 7 :. y = - 3 x + 7 , tem inclinação - 3 , então um vetor paralelo à linha é b = < 1 , - 3 > . O ângulo entre as linhas é o mesmo que o ângulo theta entre os vetores.

Assim, podemos calcular!!!

Passo 2

Fazendo o produto escalar a * b :

a * b = < 1 , 2 > * < 1 , - 3 > = (1) (1) + (2) (- 3) = - 5

Agora para o módulo:

|a| = sqrt(1^2 + 2^2) = sqrt(5)

|b| = sqrt(( 1 )^2 + ( - 3 )^2) = sqrt(10)

Pronto! Podemos substituir na nossa fórmula inicial

cos theta = (- 5)/(sqrt(10) * sqrt(5))

theta = cos^(- 1) ( (- sqrt(2))/(2) )

theta = (3 pi)/(4) = 135 °

E para sabermos o ângulo agudo, é só subtrairmos de 180 ° :

theta = 180 ° - 135 ° = 45 °

Finish

Resposta

theta = 45 °

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