Enunciado

28. No circuito apresentado na figura 4, um gerador fornece uma voltagem de E t = 40 s e n ( 60 t ) volts, a indultancia é de 1 H e a resistência é de 20   Ω e I 0 = 1 A .

a) Encontre I ( t ) .

b) Calcule a corrente depois de 0,1   s .

c) Use uma ferramenta gráfica para desenhar o gráfico da função corrente.

Passo 1

  1. Vamos usar uma das leis de Kirchhoff que é a lei de Kirchhoff das tensões em uma malha fechada, o que resulta em

L d I d t + R I = E ( t )

onde L é a indutância, R é a resistência, I é a corrente e E ( t ) é a voltagem.

Nesse caso, temos L = 1 , R = 20 e E t = 40 s e n ( 60 t ) .

Então a EDO é

1 d I d t + 20 I = 40 s e n 60 t

Passo 2

Chamando d I d t = I ' para facilitar os cálculos, temos

I ' + 20 I = 40 s e n 60 t

Então a EDO é linear com P t = 20 e Q x = 40 s e n 60 t .

Passo 3

O fator integrante é dado por i x = e ∫ P t d t , ou seja, i t = e ∫ 20 d t = e 20 t .

Passo 4

Sabendo que dado o fator integrante i ( t ) , a solução I ( t ) é dada por por I t = 1 i ( t ) ∫ i t Q t d t + C .

Já sabemos que i t = e 20 t e Q t = 40 s e n 60 t

Então precisamos calcular ∫ e 20 t ⋅ 40 s e n 60 t d t = 40 ∫ e 20 t s e n 60 t d t .

Vamos usar o método da integração por partes que é ∫ u d v = u v - ∫ v d u . Fazendo u = e 20 t e d v = s e n ( 60 t ) , temos que d u = 20 e 20 t e v = - cos ⁡ 60 T 60 .

E então temos

∫ e 20 t s e n 60 t d t = - e 20 t cos ⁡ 60 t 60 + ∫ cos ⁡ 60 T 60 ⋅ 20 e 20 t d t

Agora precisamos calcular

∫ cos ⁡ 60 t 60 ⋅ 20 e 20 t d t = 1 3 ∫ cos ⁡ 60 t e 20 t d t

Vamos aplicar novamente a integração por partes, mas agora em ∫ cos ⁡ 60 t e 20 t d t

Vamos fazer u = e 20 t e d v = cos ⁡ ( 60 t ) , então d u = 20 e 20 t e v = s e n 60 t 60 . E então temos

∫ cos ⁡ 60 t e 20 t d t = e 20 t s e n 60 t 60 - ∫ s e n 60 t 20 e 20 t 60 d t

Agora vamos substituir na primeira equação que encontramos.

Passo 5

Substituindo, temos

∫ e 20 t s e n 60 t d t = - e 20 t cos ⁡ 60 t 60 + ∫ cos ⁡ 60 t 60 ⋅ 20 e 20 t d t

∫ e 20 t s e n 60 t d t = - e 20 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 3 e 20 t s e n 60 t 60 - ∫ s e n 60 t 20 e 20 t 60 d t

Arrumando...

∫ e 20 t s e n 60 t d t = - e 20 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 3 e 20 t s e n 60 t 60 - 1 30 ∫ s e n 60 t e 20 t d t

∫ e 20 t s e n 60 t d t = - e 20 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 3 ⋅ e 20 t s e n 60 t 60 - 1 3 ⋅ 1 30 ∫ s e n 60 t e 20 t d t

O macete aqui é entender que ∫ e 20 t s e n 60 t d t pode ser visto como uma incógnita em uma equação que queremos encontrar o valor. Por isso, vamos colocar essa integral em evidência e isola-la no lado esquerdo da equação...

∫ e 20 t s e n 60 t d t + 1 90 ∫ s e n 60 t e 20 t d t = - e 20 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 3 ⋅ e 20 t s e n 60 t 60

9 1 90 ∫ e 20 t s e n 60 t d t = - e 20 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 3 ⋅ e 20 t s e n 60 t 60

∫ e 20 t s e n 60 t d t = 9 0 9 1 - e 20 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 3 ⋅ e 20 t s e n 60 t 60

∫ e 20 t s e n 60 t d t = 1 9 1 - 9 0 ⋅ e 20 t cos ⁡ 60 t 60 + 9 0 ⋅ 1 3 ⋅ e 20 t s e n 60 t 60

∫ e 20 t s e n 60 t d t = 1 9 1 - 3 e 20 t cos ⁡ 60 t 2 + e 20 t s e n 60 t 2

Passo 6

Então

40 ∫ e 20 t s e n 60 t d t = 40 9 1 - 3 e 20 t cos ⁡ 60 t 2 + e 20 t s e n 60 t 2

E A solução é dada por

I t = 1 e 20 t 40 9 1 - 3 e 20 t cos ⁡ 60 t 2 + e 20 t s e n 60 t 2 + C = 40 9 1 - 3 cos ⁡ 60 t 2 + s e n 60 t 2 + C e - 20 t

Passo 7

Para finalizar, só precisamos encontrar a constante C , e para isso vamos olhar a condição de contorno.

Sabemos que I 0 = 1

Então

40 91 - 3 cos ⁡ 0 2 + s e n 0 2 + C e 0 = 1

, e então

40 9 1 - 3 2 + C = 1

- 120 182 + C = 1

C = 1 + 120 182 = 302 182

e a solução é dada por

I t = 40 91 - 3 cos ⁡ 60 t 2 + s e n 60 t 2 + 302 182 e - 20 t

Passo 8

b)

I 0,1 = 40 91 - 3 cos ⁡ 60 * 0,1 2 + s e n 60 * 0,1 2 + 302 182 e - 20 * 0,1 = 40 91 - 3 cos ⁡ 6 2 + s e n 6 2 + 302 182 e - 2

Passo 9

c)

Resposta

  1. I t = 40 91 - 3 cos ⁡ 60 t 2 + s e n 60 t 2 + 302 182 e - 20 t

I 0,1 = 40 91 - 3 cos ⁡ 6 2 + s e n 6 2 + 302 182 e - 2

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