Enunciado

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x .

9 x = y 2 + 18 ,       2 ≤ x ≤ 6

Passo 1

Queremos a área da superfície de revolução obtida quando se gira a curva em torno do eixo x . Assim, usamos que

A = ∫ a b 2 π y   1 + y ' 2   d x

Assim, isolando y , temos que

y = 9 x - 18

Assim,

y ' = 1 2 9 x - 18 ⋅ 9 ⇒ 1 + y ' 2 = 1 + 81 4 9 x - 18 = 36 x - 72 + 81 4 9 x - 18 = 36 x + 9 4 ( 9 x - 18 )

Então,

1 + y ' 2 = 9 ( 4 x + 1 ) 4 ⋅ 9 ( x - 2 ) = 4 x + 1 4 ( x - 2 )

Passo 2

Desta forma, a área será

A = 2 π   ∫ 2 6 3 x - 2 ⋅ 1 2 4 x + 1 x - 2   d x = 3 π ∫ 2 6 4 x + 1   d x

Fazendo u = 4 x + 1 , temos que d u = 4 d x e para x = 2 , u = 9 e para x = 6 , u = 25 . Assim,

A = 3 π 4 ∫ 9 25 u   d u = 3 π 4 ⋅ 2 3   u 3 9 25 = π 2 5 3 - 3 3 = π 2 ( 125 - 27 )

Portanto,

A = 98 π 2 = 49 π

Resposta

49 π

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40 - Conforme visto no Exercício 39, o centroide do semicírculo y = a 2 - x 2 está no ponto ( 0,2 a π ). Determine a área da superfície gerada pela rotação do semicírculo em torno da reta a = y .
39 - Use o teorema de Pappus para área de superfície e o fato de que a área de superfície de uma esfera de raio a é 4 π a 2 para determinar o centroide do semicírculo y = a 2 - x 2
Nos Exercícios 45 e 46, use um teorema de Pappus para determinar o centroide do triângulo dado. Use o fato de que o volume de um cone de raio r e altura h é V = 1 3 π r 3 h .
38 - Use os teoremas de Pappus para determinar a área de superfície lateral e o volume e de um cone circular reto.
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