Enunciado

Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x.

7 .   y = x 3 ,   0 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Para a rotação em torno do eixo x , vamos usar a fórmula 7 do capítulo 8 seção 2 , que é a seguinte:

S = ∫ 2 π y   d s

Onde:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Com x variando de 0 a 2 .

Passo 2

Antes de montar as integrais, temos que montar o d s e para isso precisamos achar d y d x .

d y d x = 3 x 2

Logo:

d s = 1 + 3 x 2 2   d x

= 1 + 9 x 4   d x

Passo 3

Agora vamos montar a integral.

S = ∫ 2 π y   d s

= ∫ 0 2 2 π ( x 3 ) 1 + 9 x 4   d x

Agora só falta resolver.

Passo 4

Vamos resolver então:

∫ 0 2 2 π ( x 3 ) 1 + 9 x 4   d x

= 2 π ∫ 0 2 x 3 1 + 9 x 4   d x

Agora para continuar, vamos fazer uma substituição simples, da seguinte forma:

u = 1 + 9 x 4

d u = 36 x 3

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

u 1 = 1 + 9 0 4 = 1

u 2 = 1 + 9 2 4 = 145

Passo 5

Realizando a substituição a nossa integral fica:

2 π ∫ 1 145 1 36 u   d u

= π 18 ∫ 1 145 u   d u

= π 18 2 3 u 3 2 1 145

= π 27 [ 145 3 2 - 1 3 2 ]

Logo:

= π 27 145 145 - 1

Resposta

π 27 145 145 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado. y = 1 3 x 2 + 2 3 2 , 0 ≤ y ≤ 2 ; e i x oy Sugestão: Expresse d s = d x 2 + d y 2 em termos de d x , e calcule a
Escreva uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva y = c o s c o sx,- π 2 ≤ x ≤ π 2 , em torno do eixo x .
Demonstre que a área da superfície de uma esfera de raio a ainda é 4 π a 2 usando a Equação 3 para determinar a área da superfície gerada pela rotação da curva y = a 2 - x 2, - a ≤ x ≤a , em torno do
A área da superfície lateral (lado) de um cone de altura h e raio de base r deveria ser π rr 2 + h 2 , o semiperímetro da base vezes a altura inclinada. Demonstre que isso continua sendo verdade quand
Sua empresa decidiu lançar uma versão de luxo da frigideira que você projetou. O plano é esmaltá-la de branco por dentro e de azul por fora. A camada de esmalte terá 0,5 m m de espessura antes de ir a