Enunciado

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x .

y = 1 + 4 x ,       1 ≤ x ≤ 5

Passo 1

Queremos a área da superfície de revolução obtida quando se gira a curva em torno do eixo x . Assim, usamos que

A = ∫ a b 2 π y   1 + y ' 2   d x

Derivando y :

y ' = 1 2 1 + 4 x ⋅ 4 = 2 1 + 4 x

Assim,

1 + y ' 2 = 1 + 4 1 + 4 x = 1 + 4 x + 4 1 + 4 x = 5 + 4 x 1 + 4 x

Passo 2

Desta forma, a área será

A = 2 π   ∫ 1 5 1 + 4 x   5 + 4 x 1 + 4 x   d x = 2 π ∫ 1 5 5 + 4 x   d x

Vamos fazer a substituição u = 5 + 4 x ⇒ d u = 4 d x . Assim,

A = 2 π 4   ∫ 9 25 u   d u = π 2 ⋅ 2 3   u 3 9 25 = π 3   125 - 27 = 98 π 3

Resposta

98 π 3

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