Enunciado

Escreva a forma da decomposição da fração parcial da função (como no exemplo 7). Não determine os valores dos coeficientes.

2 .   a x - 6 x 2 + x - 6

Passo 1

O enunciado foi bem legal com a gente, ele só quer que separemos o que temos em frações parciais, mas não precisamos achar os coeficientes do numerador e isso já poupa bastante trabalho.

Agora vamos fazer uma pequena mexida no denominador da nossa expressão, vamos escrever nosso denominador de forma fatorada e vamos fazer isso usando suas raízes, então:

x 2 + x - 6 = 0

x = - 1 ± 1 - 4 - 6 2

= - 1 ± 1 + 24 2

x 1 = 2

x 2 = - 3

Então:

x 2 + x - 6 = x + 3 x - 2

Se você abrir essa expressão, verá que essa igualdade é verdadeira. Então nossa expressão final é:

x - 6 x + 3 x - 2

Olhando o denominador da expressão que temos, podemos ver ele se encaixa no primeiro caso que o livro introduz, o caso de produto de funções lineares, logo a expansão em frações parciais nesse caso é assim.

Tendo:

Q x = a 1 x + b 1 a 2 x + b 2 … a k + b k

⇒ R ( x ) Q ( x ) = A 1 a 1 x + b 1 + A 2 a 2 x + b 2 + … + A k a k + b k

Agora, vamos aplicar isso para o que temos.

Passo 2

Aplicando então, temos:

x - 6 x + 3 x - 2 = A x + 3 + B x - 2

Resposta

A x + 3 + B x - 2

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