Enunciado

Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x .

x = 2 t 2 + 1 t ,   y = 8 t ,   0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Pra achar a área obtida pela rotação em torno do eixo x a gente precisa fazer:

S = ∫ a b 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Beleza, vamos fazer essa parte da raiz fora da integral que é melhor!

As derivadas:

d x d t = 4 t - 1 t 2

d y d t = 8 2 t = 4 t

Passo 2

Agora a gente eleva ao quadrado e soma:

4 t - 1 t 2 2 = 16 t 2 - 8 t + 1 t 4

4 t 2 = 16 t

d x d t 2 + d y d t 2 = 16 t 2 + 8 t + 1 t 4

Aí isso a gente pode escrever como:

4 t + 1 t 2 2

Aí esse expoente anula com raiz, então só jogar esse valor dentro da integral e resolver!

Passo 3

Fica assim ó:

S = 2 π ∫ 0 3 8 t 4 t + 1 t 2 d t

S = 16 π ∫ 0 3 4 t 3 2 + t t 2 d t

S = 16 π 8 t 2 t 5 - 2 t 0 3

S = 16 π 8 3 2 3 5 - 2 3

S = 16 π 72 3 5 - 2 3 3

S = 16 π 206 3 15

Prontinho!! 😊

Resposta

S = 16 π 206 3 15

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