Enunciado

Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.

27. ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 ln ⁡ n n

Passo 1

Como o teste da raiz é:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

Sendo a n a sequência da série que estamos aplicando o teste. Se L > 1 a série é divergente, e se L < 1 a série é convergente.

Na nossa série fica:

L = lim n → ∞ ⁡ - 1 n - 1 ln ⁡ n n n

Ao tirarmos do modulo, o termo - 1 n - 1 passa a ser sempre 1, já que o módulo deixa o sinal de cada termo de a n positivo, além disso, a função l n só possui valores negativos para 0 ≤ n ≤ 1 , mas como n começa em 2 podemos tirar o módulodireto, o limite então passa a ser:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n n n

Cortando a raiz com o n do denominador:

L = l i m n → ∞ 1 ln ⁡ n

Passo 2

Como l i m n → ∞ ln ⁡ n → ∞ , então L será:

L = 0

E como L < 1 , a série é convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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