Encontre a área da região hachurada

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a área da seguinte região sombreada:

Para encontrarmos a área hachurada, basta integrarmos ( e m   x   o u   y ) a função que está em cima y = e x e subtrair pela função que está por baixo y = x e x 2 no intervalo dado.

Analisando a figura, percebemos que trata-se do intervalo de 1 a 0 . Em outras palavras, este será os nossos limites de integração!!

E aí?? Bora lá?? 😉

Ah, lembre-se que:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

E

∫ e u d u = e u + C

Passo 2

Com base no que acabamos de falar, temos:

∫ 0 1 e x - x ⋅ e x 2   d x = ∫ 0 1 e x   d x - ∫ 0 1 x ⋅ e x 2   d x

Resolvendo a primeira integral, temos:

∫ 0 1 e x   d x = e x 1 0 ∴

∫ 0 1 e x   d x = e 1 - e 0 ∴

∫ 0 1 e x   d x = e - 1

Agora vamos resolver a segunda integral!!

Passo 3

Resolvendo a segunda integral, temos:

∫ 0 1 x ⋅ e x 2   d x

Fazendo u = x 2 ∴ d u = 2 x d x , temos:

∫ 0 1 x ⋅ e x 2   d x = ∫ 0 1 x ⋅ e u d u 2 x ∴

∫ 0 1 x ⋅ e x 2   d x = 1 2 ∫ 0 1 e u d u ∴

∫ 0 1 x ⋅ e x 2   d x = 1 2 e u 1 0 ∴

Substituindo u :

∫ 0 1 x ⋅ e x 2   d x = 1 2 e x 2 1 0 ∴

∫ 0 1 x ⋅ e x 2   d x = 1 2 e 1 2 - e 0 ∴

∫ 0 1 x ⋅ e x 2   d x = e - 1 2

Passo 4

Com isso, a nossa integral do Passo 2, fica:

∫ 0 1 e x - x ⋅ e x 2   d x = ∫ 0 1 e x   d x - ∫ 0 1 x ⋅ e x 2   d x ∴

∫ 0 1 e x - x ⋅ e x 2   d x = e - 1 - e - 1 2 ∴

∫ 0 1 e x - x ⋅ e x 2   d x = e - 1 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

e - 1 2

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