Enunciado

A taxa de crescimento de uma população de peixes foi modelada pela equação

G t = 60000 ⋅ e - 0,6 t 1 + 5 ⋅ e - 0,6 t 2

Onde t é medido em anos e G em quilogramas por ano. Se a biomassa era de 25000 k g no ano 2000 , qual é a biomassa prevista para o ano de 2020 ?

Passo 1

Para descobrirmos a biomassa prevista para o ano de 2020 basta integrarmos G t com t variando de 0 a 20. Assim, teremos

∫ 0 20 60000 ⋅ e - 0,6 t 1 + 5 ⋅ e - 0,6 t 2 d t

Essa integral parece assustadora, porém, vamos utilizar uma substituição que facilitará nossa vida. Tomemos, então

u = 1 + 5 ⋅ e - 0,6 t → d u d t = - 3 ⋅ e - 0,6 t → d u = - 3 ⋅ e - 0,6 t   d t

Avaliando os limites de integração vamos ter

Q u a n d o   t = 0 → u = 6 ,   q u a n d o   t = 20 → u = 1 + 5 ⋅ e - 12

Então, nossa integral escrita na variável t será

∫ 6 1 + 5 e - 12 - 20000 ⋅ 1 u 2 d u = - 20000 ⋅ ∫ 6 1 + 5 e - 12 d u u 2

- 20000 ⋅ u - 1 - 1 6 1 + 5 e - 12 = 20000 ⋅ 1 u 6 1 + 5 e - 12 = 20000 ⋅ 1 1 + 5 e - 12 - 1 6 ≈ 16667 k g

Assim, a previsão de biomassa para 2020 vai ser

25000 + 16667 = 41667 k g

Resposta

41667 k g

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