Enunciado

Encontre a área da regiao que e limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado: r = θ 2   ,   0 ≤ θ ≤ π / 4

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .No caso, esta bem explícito qual a função e qual intervalo, então basta somente resolver a integral.

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) onde R é uma primitiva de 1 2 r θ 2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

Passo 2

Teremos então ∫ 0 π 4 θ 4 2   d θ , como θ 5 2 . 5 uma primitiva de θ 4 2 , então temos que o resultado da integral será π 4 5 * 1 10 - 0 5 10 = π 5 4 5 . 10 = π 5 10240

Resposta

Logo, a resposta é: π 5 10240

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva, mas não calcule, uma integral que represente a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.57. x = s e n 2 t ,y = s e n3 t , 0 ≤ t ≤ π / 3
Encontre a área exata da superfícies obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.60. x = 3 t - t 3 ,y = 3 t 2 , 0 ≤ t ≤ 1
Encontre a área exata da superfícies obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.61. x = a cos 3 ⁡ θ ,y = as e n 3 θ 2 , 0 ≤ θ ≤ π / 2
Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo y .65. x = 3 t 2 , y = 2 t 3 ,0 ≤ t ≤ 5
Se o arco da curva no Exercício 50 girar em torno do eixo x , estime a área da superfície resultante usando a Regra de Simpson com n = 4 .