Enunciado

Encontre a área da regiao que é limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado: r = e θ 2   ,   π ≤ θ ≤ 2 π

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .No caso, esta bem explicito qual a função e qual intervalo, então basta somente resolver a integral.

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) onde R é uma primitiva de 1 2 r θ 2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

Passo 2

A área sera dada, então, pela integral ∫ π 2 π 1 2 . e 2 θ 2   d θ = ∫ π 2 π 1 2   e θ . Temos que a função 1 2   .     e θ e uma primitiva da função que queremos integrar, então temos que o valor da integral será 1 2 ( e 2 π - e π ) , e não temos como simplificar mais essa resposta já que o numero e e irracional. Pode deixar a resposta desse jeito mesmo.

Resposta

Logo, a resposta e: 1 2 ( e 2 π - e π )

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Use a fórmula 10.2 . 7 para mostrar que a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r = f θ,a ≤ θ ≤ b (Onde f ' é contínua e 0 ≤ ab ≤ π ) em torno do eixo polar é S = ∫ a b 2 π r sin ⁡ θ r
Escreva, mas não calcule, uma integral que represente a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.57. x = 1 + t e t ,y = t 2 + 1 , 0 ≤ t ≤ 1
Se a curva x = t + t 3y = t - 1 t 2 1 ≤ t ≤ 2 girar em torno do eixo x , estime a área da superfície resultante com precisão de três casas decimais.
Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo y .66. x = e t - t , y = 4 e t 2 ,0 ≤ t ≤ 1
Encontre a área exata da superfícies obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.59. x = t 3 ,y = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1