Enunciado

Encontre a área da região limitada pela parábola y = x 2 , pela reta tangente a essa parábola em 1 ,   1 e pelo eixo x .

Passo 1

Bom, galera, nesse exercício queremos calcular a área da região entre a parábola e sua reta tangente.

y = x 2

Sabemos que a reta tangente dessa parábola passa no ponto 1,1 e que ela toca o eixo x .

Precisamos encontrar a função da reta tangente:

y = a x + b

O coeficiente angular, a , aqui é nada mais nada menos do que a derivada da parábola no ponto dado:

y ' 1 = 2 x = 2

Agora determinamos a equação da reta fazendo:

y - y 0 = a x - x 0

Substituindo o ponto 1,1 :

y - 1 = 2 x - 1

y = 2 x - 1

Passo 2

Agora que conhecemos as duas curvas podemos esboçar o gráfico:

L

embrando que nossa área está limitada pelo eixo x também!! Podemos então calcular a área da seguinte maneira:

Teremos, de 0 até 1/2, apenas a parábola:

A 1 = ∫ 0 1 / 2 x 2 d x = x 3 3 0 1 2 = 1 24

E, de 1/2 até 1, temos a parábola menos a reta:

A 2 = ∫ 1 / 2 1 x 2 - ( 2 x - 1 ) d x

A 2 = ∫ 1 / 2 1 x 2 - 2 x + 1 d x

A 2 = x 3 3 - x 2 + x 1 / 2 1 = 1 3 - 1 + 1 - 1 24 + 1 4 - 1 2 = 1 12 - 1 24

Por que deixei esse - 1 / 24 sem somar? Então, porque nós temos que a área total será a soma das duas áreas que encontramos! Então:

A = A 1 + A 2

A = 1 12 - 1 24 + 1 24

E olha como eles se cortam ali:

A = 1 12

Prontinho!!

Resposta

A = 1 12

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