Enunciado

Encontre os valores de c tal que a área da região limitada pelas parábolas y = x 2 - c 2 e y = c 2 - x 2 seja 576 .

Passo 1

Bora lá! Nosso exercício nos dá as parábolas:

y 1 = x 2 - c 2

y 2 = c 2 - x 2

Aqui devemos encontra quem é c para que a área entre essas duas curvas seja igual a 576 .

Repara que:

y 1 = - y 2

Uma vez que:

x 2 - c 2 = - c 2 - x 2 = - c 2 + x 2

São duas parábolas iguais. Só que uma tem concavidade pra cima e outra pra baixo. Assim:

Passo 2

Então a área pode ser calculada por:

2 ∫ b a y 1   d x

Os limites de integração vão ser iguais aos pontos de intersecção das parábolas, que vai ser igual as suas raízes:

x 2 - c 2 = 0

x = ± c

Então temos:

2 ∫ - c c y 2   d x

Mas isso é igual a:

2 ×   2 ∫ 0 c y 2   d x = 4 ∫ 0 c y 2   d x

Pegamos y 2 pois sua concavidade é pra baixo, então ela vai tá na parte positiva do eixo x .

Passo 3

Temos que:

4 ∫ 0 c c 2 - x 2   d x = 576

Integrando:

x c 2 - x 3 3 0 c = 576 4

Aplicando os limites de integração:

x c 2 - x 3 3 0 c = c c 2 - c 3 3 - 0 c 2 - 0 3 3 = c 3 - c 3 3 = 2 3 c 3

576 4 = 2 3 c 3

c 3 = 3 2 576 4 = 216

c = 216 3 = 6

Prontinho!

Resposta

c = 6

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