Enunciado

Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais.

x = t 2 - t 3 ,   y = t + t 4 ;     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Vamos derivar x = t 2 - t 3 :

d x d t = 2 t - 3 t 2

E agora, derivar   ,   y = t + t 4 :

d y d t = 1 + 4 t 3

Então:

d x d t 2 + d y d t 2 = 2 t - 3 t 2 2 + ( 1 + 4 t 3 ) 2 = 4 t 2 - 12 t 3 + 9 t 4 + 1 + 8 t 3 + 16 t 6

Passo 2

Escrevendo uma integral para a área de superfície, temos que:

S = ∫ 2 π y   d s

E um intervalo de   0 ≤ t ≤ 1 , isso implica que nossa integral de superfície será:

S = ∫ 0 1 2 π t + t 4 4 t 2 - 12 t 3 + 9 t 4 + 1 + 8 t 3 + 16 t 6   d t   ≈ 12,7176

Resposta

≈ 12,7176

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Calcule a área limitada pela curva x = t - 1 t , y = t + 1 t e a reta y = 2,5 .
Enocontre a área limitada pela curva x = cos ⁡ t e y = e t , 0 ≤ t ≤ π / 2 e as retas y = 1 e x = 0 .
44- Use um gráfico para estimar os valores de θ para os quais as curvas r = 3 + s e n5 θ e r = 6s e nθ se interceptam. Então estime a área que está dentro de ambas as curvas.
Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 1 + cos ⁡ θ ,r = 3 cos ⁡ θ
Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r 2 = 2s e n2 θ ,r = 1