Enunciado

Seja R   a região dentro do laço da curva no Exemplo 1:

  1. Calcule a área de R
  2. Se R girar em torno do eixo   x ,   encontre o volume do sólido resultante
  3. Encontre o centroide de R

Passo 1

Conforme a letra (a) pede, precisamos achar a área contida no laço do exemplo 1, onde:

x = t 2     e     y = t 3 - 3 t

Como é um laço, para definirmos os limites de integração usamos pontos que cortem o eixo x , ou seja, onde y = 0 .   Substituindo percebemos que isso ocorre em t = 0   o u   t = ± 3 .

Agora perceba que a curva vem de - ∞ ,   corta o eixo x   em t = - √ 3 , vai até a origem onde t = 0 e ai fecha o laço em t = √ 3 . Então se tomarmos o limite de integração de

0 < t < √ 3 e multiplicarmos por 2 temos um meio de chegar no valor da área. Não podemos esquecer que como a curva está negativa nessa parte do laço a área tem que ser multiplicada por ( - 1 ) .

Passo 2

Depois dessa análise sobre os intervalos chegamos na melhor parte que é integrar. Sabendo que a área será dada por:

A = - 2 * ∫ 0 √ 3 y   d x

É só substituir y   e diferenciar x :

x = t 2

d x = 2 t   d t

A = - 2 * ∫ 0 √ 3 t 3 - 3 t 2 t   d t

A = - 2 * ∫ 0 √ 3 2 t 4 - 6 t 2   d t

A = - 2 * 2 5 t 5 + 2 * 6 3 t 3 √ 3 0

A = - 4 5 3 5 + 4 √ 3 3

A = - 36 √ 3 5 + 12 3 = 24 3 5

Passo 3

Para a letra (b) pensaremos em cada parte positiva do laço rotacionando o eixo x . Sabemos que uma rotação completa de uma circunferência é π r 2 , e que o raio da nossa rotação seria y .

Então vamos focar num pequeno retângulo em nosso laço:

Se esse pequeno retângulo rotacionar perceba que teremos uma área muito próxima de π r 2 e que se multiplicarmos essa área por d x teremos o volume de um pequeno disco, da largura de nosso retângulo. Logo o volume do sólido todo formado por essa rotação seria a somatória de todos essas pequenas áreas dos retângulos. Tomando a mesma fórmula da letra (a) vamos continuar considerando aqueles intervalos (não precisamos considerar a área negativa, já que estamos tratando de volume e então elevaremos o raio, y , ao quadrado) formando a integral:

V = ∫ 0 √ 3 π y 2   d x

V = ∫ 0 √ 3 π t 3 - 3 t 2 2 t   d t

V = π ∫ 0 3 ( t 6 - 6 t 4 + 9 t 2 ) 2 t   d t

V = π ∫ 0 3 2 t 7 - 12 t 5 + 18 t 3   d t

V = π ( 2 8 t 8 - 2 t 6 + 9 2 t 4 )   √ 3 0

V = π ( 1 4 √ 3 8 - 2 √ 3 6 + 9 2 √ 3 4 )  

V = π 81 4 - 2 * 27 + 81 2

V = π 81 4 - 216 4 + 162 4

V = π 27 4

Passo 4

Encontraremos agora o centroide de R . Para achar o centro de massa fazemos uma média ponderada, por exemplo, para encontrar o centro de massa em x fazemos x 1 * a + x 2 * a + … + x n * a , sendo a   a área do centro de massa   x   de um retângulo de largura d x   e no fim dividimos tudo pela área total .   Já para y   o centro de massa desse retângulo seria y 2 e então as integrais que representam essa somatória e nos indicam o centro de massa:

c m x = ∫ x d A ∫ d A           c m y =   ∫   y 2 d A ∫ d A

Nesse nosso retângulo a área será dada por A = y * x ,     d A = y   d x . Substituindo então na nossa integral:

c m x = ∫ x y   d x ∫ y   d x           c m y =   ∫   y 2 y   d x ∫ y   d x

c m x = ∫ x y   d x ∫ y   d x           c m y =   ∫   y 2 2   d x ∫ y   d x

Como o laço é simétrico podemos considerar que o   c m   em y   é 0, e então só precisamos encontrar o centro e massa em   x . Substituindo então pelas equações paramétricas e inserindo os limites de integração de 0 < t < √ 3 e podemos multiplicar em cima e em baixo por -2

c m x = - 2 * ∫ t 2 t 3 - 3 t 2 t   d t - 2 * ∫ t 3 - 3 t 2 t   d t      

Já sabemos que a integral do denominador é 24 3 5 :  

c m x = - 10 * ∫ t 2 t 3 - 3 t 2 t   d t 24 3      

c m x = - 10 * ∫ 2 t 6 - 6 t 4   d t 24 3      

c m x = - 10 24 3 * ( 2 7 t 7 - 6 5 t 5 ) √ 3 0

c m x = - 20 24 * 3 7 7 3 + 60 24 * 3 5 5 √ 3

c m x = - 20 24 * 3 6 7 + 60 24 * 3 4 5

Multiplicando, tirando o MMC e simplificando chegamos em c m x = 27 21 ≈ 1,2857 .

Resposta

(a) 24 3 5

(b) π 27 4

(c) 27 21 ≈ 1,2857

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