Enunciado

Encontre a área da superfície.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 z que fica dentro do parabolóide z = x^2 + y^2 .

A figura a seguir esquematiza a região de interseção entre a esfera e o parabolóide.

Substituindo a equação do parabolóide na equação da esfera, temos:

z + z^2 = 4 z -> z^2 - 3 z = 0 -> z = 0 , z = 3

Logo, esses são os dois planos que interceptam a esfera (conforme podemos verificar na imagem acima), no entanto, podemos reescrever a equação da esfera como:

x^2 + y^2 + z^2 - 4 z = 0

Completando o quadrado em z adicionando 4 dos dois lados, temos:

x^2 + y^2 + z^2 - 4 z + 4 = 4 -> x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4

Sendo assim, substituindo a equação para o plano z = 3 , temos:

x^2 + y^2 + (3 - 2)^2 = 4 -> x^2 + y^2 = 3

Dessa forma, podemos notar que o raio da região de interseção será um círculo ao redor da origem com raio variando de 0 a sqrt(3) .

Passo 2

Com isso, temos:

z = f (x , y) = 2 + sqrt(4 - x^2 - y^2) -> f_x = (- x) (4 - x^2 - y^2)^(- 1 // 2) , f_y = (- y) (4 - x^2 - y^2)^(- 1 // 2)

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A (S) = ∬ sqrt([(- x) (4 - x^2 - y^2)^(- (1)/(2))]^2 + [(- y) (4 - x^2 - y^2)^(- (1)/(2))]^2 + 1) d A

Conforme visto no passo 1, a região fornecida no enunciado é delimitada por um círculo, sendo assim, podemos mudar o sistema de coordenadas cartesianas para polar, com x = r c o s theta , y = r s e n theta , fazendo isso, temos:

int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) sqrt((r^2 cos^2 theta)/(4 - r^2) + (r^2 sin^2 theta)/(4 - r^2) + 1) r d r d theta

= int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) sqrt((r^2)/(4 - r^2) + 1) r d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) sqrt((r^2 + 4 - r^2)/(4 - r^2)) r d r d theta

= int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) (2)/(sqrt(4 - r^2)) r d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) 2 r (4 - r^2)^(- 1 // 2) d r d theta

Passo 3

Resolvendo a integral obtida no passo anterior temos:

int_0^(2 pi) [- 2 (4 - r^2)^((1)/(2))]_(r = 0)^(r = sqrt(3)) d theta = int_0^(2 pi) - 2 [(4 - 3)^(- (1)/(2)) - 2] d theta

Simplificando a expressão, obtemos:

= int_0^(2 pi) 2 d theta = [2 theta]_0^(2 pi) = 4 pi

Sendo assim, temos:

A (S) = 4 pi

Resposta

A (S) = 4 pi

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Encontre a área da superfície.A parte do plano 6 x + 4 y + 2 z = 1 que cruza dentro do cilindro x 2 + y 2 = 25 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 2 y + 4 z - x 2 = 5 que cruza acima do triangulo com vértices 0,0 ,2,0 e2,4 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 5 x + 3 y - z + 6 = 0 que cruza acima do retângulo 1,4 × 2,6 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que cruza no primeiro octante.
Determine a área exata da superfície z = 1 + 2 x + 3 y + 4 y^2 , 1 = x = 4 ,0 = y = 1 .