Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 12
Encontre a área da superfície.
Passo 1
Nesse exercício iremos analisar a parte da esfera que fica dentro do parabolóide .
A figura a seguir esquematiza a região de interseção entre a esfera e o parabolóide.
Substituindo a equação do parabolóide na equação da esfera, temos:
Logo, esses são os dois planos que interceptam a esfera (conforme podemos verificar na imagem acima), no entanto, podemos reescrever a equação da esfera como:
Completando o quadrado em adicionando 4 dos dois lados, temos:
Sendo assim, substituindo a equação para o plano , temos:
Dessa forma, podemos notar que o raio da região de interseção será um círculo ao redor da origem com raio variando de a .
Passo 2
Com isso, temos:
Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:
Conforme visto no passo 1, a região fornecida no enunciado é delimitada por um círculo, sendo assim, podemos mudar o sistema de coordenadas cartesianas para polar, com , fazendo isso, temos:
Passo 3
Resolvendo a integral obtida no passo anterior temos:
Simplificando a expressão, obtemos:
Sendo assim, temos:
Resposta
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