Enunciado

Use as Fórmulas (A) e (B) dos Exercícios 31 e 32.

Encontre a área da superfície gerada quando as equações x = cos 2 ⁡ t , y = s e n 2 t ( 0 ≤ t ≤ π / 2 ) gira em torno do eixo y .

Passo 1

De acordo com os exercícios, a fórmulinha para achar essa área da superfície, que a gente tem quando gira a curva em torno de y , é:

S = ∫ a b 2 π x t x ' t 2 + y ' t 2 d t

Só precisamos montar essa integral e calcular. Vem comigo!

Passo 2

Pelo enunciado, vemos que:

a = 0

b = π / 2

Calculando as derivadas das funções:

x t = cos 2 ⁡ t

x ' t = - 2 cos ⁡ t s e n   t

y t = s e n 2 t

y ' t = 2   s e n   t cos ⁡ t

Substituindo essas coisinhas na fórmula, nossa integral fica:

S = 2 π ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t   s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t   s e n 2 t   d t

Dá para somar o que está dentro da raiz e deixar ela mais bonitinha:

S = 4 2 π ∫ 0 π 2 cos 3 ⁡ t   s e n   t   d t  

Passo 3

Agora é calcular. Vamos usar a substituição:

u = cos ⁡ t

d u d x = - s e n   t ∴ d u - s e n   t = d x

Calculando os novos extremos de integração:

u 1 = cos ⁡ 0 = 1

u 2 = cos ⁡ π 2 = 0

Aí a nossa integral fica:

S = 4 2 π ∫ 1 0 - u 3 d u = 2 π

Resposta

S = 2 π

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