Calcule a integral.

∫ 1 e x + 1   d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos resolver essa por substituição.

Vamos fazer u = e x + 1 .

Aí teremos d u = e x 2 e x + 1   d x → 2 e x + 1 e x   d u = d x

Vamos jogar isso na integral pra ver no que dá...

Passo 2

∫ 1 u 2 e x + 1 e x   d u

Bom, a gente não pode deixar esse x aí, então vamos substituir ele também de acordo com o lá de cima:

u = e x + 1

u 2 = e x + 1

e x = u 2 - 1

∫ 2 u u u 2 - 1   d u

= 2 ∫ 1 u 2 - 1   d u

Passo 3

Beleza, vamos fazer isso aqui agora:

2 ∫ 1 ( u - 1 ) ( u + 1 )   d u

Aí resolvemos e achamos:

ln ⁡ u - 1 - ln ⁡ u + 1

Pronto! Integral calculada. Vamos voltar pra nossa variável x e aplicar os intervalos...

Voltando pra variável x :

ln ⁡ ( e x + 1 - 1 ) - ln ⁡ ( e x + 1 + 1 ) + C

E terminamos por aqui😊

Resposta

ln ⁡ ( e x + 1 - 1 ) - ln ⁡ ( e x + 1 + 1 ) + C

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