Enunciado

Encontre a área da superfície.

A parte do plano 6 x + 4 y + 2 z = 1 que cruza dentro do cilindro x 2 + y 2 = 25 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A área da superfície com a equação z = f x , y é:

A S = ∬ D f x x , y 2 + f y x , y 2 + 1 d A

Passo 2

Temos então que encontrar as derivadas parciais f x e f y . Temos que z = 1 - 6 x - 4 y 2 , portanto:

f x = - 3

f y = - 2

Passo 3

A área será:

A = ∬ D - 3 2 + - 2 2 + 1 d A

A = ∬ D 9 + 4 + 1 d A

A = ∬ D 14 d A

Para aplicar os limites, temos que trabalhar com coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

d x d y = r d r d θ

Portanto:

0 ≤ r ≤ 5 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 14 r d r d θ

Resolvendo, temos que:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 14 r d r d θ = ∫ 0 2 π 14 r 2 2 0 5 d θ

A = ∫ 0 2 π 14 2 5 2 - 0 2 d θ

A = ∫ 0 2 π 25 14 2 d θ

A = ∫ 0 2 π 25 2 14 d θ

A = 25 2 14 θ 0 2 π

A = 25 2 14 2 π

A = 25 π 14

Resposta

A = 25 π 14

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