Enunciado

Determine o volume do sólido dado. Abaixo da paraboloide z = x 2 + 4 y 2 e acima do triângulo R = 0,2 × 1,4 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular o volume do sólido descrito no problema, o que nada mais é do que calcular a integral acima de acordo com a região dada. Primeiramente, vamos escrever nossa integral de forma iterada, para facilitar nossa resolução, de modo que obteremos

V = ∫ 0 2 ∫ 1 4 x 2 + 4 y 2   d y   d x

Passo 2

Agora que temos nossa integral de forma iterada, fica simples de resolver nosso problema pois basta vir resolvendo a integral da mais interna para a mais externa, sem nos esquecer, é claro, que ao integrarmos em uma variável devemos considerar a outra como constante. Sendo assim, resolvendo a integral mais interna temos

∫ 1 4 x 2 + 4 y 2   d y = x 2 y + 4 y 3 3 1 4 = 3 x 2 + 84

Pra finalizar só precisamos resolver a integral mais externa que é dada por

∫ 0 2 3 x 2 + 84   d x = 3 x 3 3 + 84 x 0 2 = 8 + 84 ⋅ 2 = 176

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Resposta

176   u . v

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Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 2 y 4 + x y 2 e acima da região lmitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido limitado pelo paraboloide cilíndrico y = x 2 e pelos planos z = 3 y , z = 2 + y .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido sob o plano z = 3 , acima do plano z = y e entre os cilindros carabólicos y = x 2 e y = 1 - x 2 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y d y d x
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimas, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A parte da superfície z = co