Enunciado

Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Bora lá!! A gente quer achar a área da região sombreada, que no nosso desenho aqui �� a região rosinha!

E como a gente acha essa área?!

A gente tem essa fórmula geral aqui:

A = int_c^d (x_R - x_L) d y

Mas e agora?! Quem é x_R e x_L ? Quem vão ser os limites de integração?

Bem, x_R e x_L vão ser as curvas! O R é “right”, direita em inglês e o L é “left” esquerda em inglês Ou seja, curva da direita e curva da esquerda!

Passo 2

Analisando a nossa figura, vemos que:

x_R = e^y

x_L = y^2 - 2

Agora os limites de integração! Se a gente reparar, essas duas curvas são delimitadas por duas retas:

y = 1

y = - 1

Então esses vão ser nossos limites de integração.

Agora vamos substituir na integral!! 😉

Passo 3

Já sabemos o que temos que fazer, então agora vamos substituir x_R e x_L na integral:

A = int_c^d (x_R - x_L) d y

Substituindo:

A = int_(- 1)^1 e^y - ( y^2 - 2 ) d y

Podemos separar cada elemento dessa integral:

A = int_(- 1)^1 e^y d y - int_(- 1)^1 y^2 d y + int_(- 1)^1 2 d y

Resolvendo:

A = [e^y]_(- 1)^1 - [(y^3)/(3)]_(- 1)^1 + [2 y]_(- 1)^1

Aplicando os limites de integração:

A = (e^1 - e^(- 1)) - ((1)/(3) - (- (1)/(3))) + (2 - (- 2))

Calculando tudinho, temos:

A = e - (1)/(e) + (10)/(3)

Prontinho!

Resposta

A = e - (1)/(e) + (10)/(3)

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