Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Bora lá!! A gente quer achar a área da região sombreada, que no nosso desenho aqui �� a região rosinha!

E como a gente acha essa área?!

A gente tem essa fórmula geral aqui:

A = ∫ c d x R - x L d y

Mas e agora?! Quem é x R e x L ? Quem vão ser os limites de integração?

Bem, x R e x L vão ser as curvas! O R é “right”, direita em inglês e o L é “left” esquerda em inglês Ou seja, curva da direita e curva da esquerda!

Passo 2

Analisando a nossa figura, vemos que:

x R = e y

x L = y 2 - 2

Agora os limites de integração! Se a gente reparar, essas duas curvas são delimitadas por duas retas:

y = 1

y = - 1

Então esses vão ser nossos limites de integração.

Agora vamos substituir na integral!! 😉

Passo 3

Já sabemos o que temos que fazer, então agora vamos substituir x R e x L na integral:

A = ∫ c d x R - x L d y

Substituindo:

A = ∫ - 1 1 e y - ( y 2 - 2 ) d y

Podemos separar cada elemento dessa integral:

A = ∫ - 1 1 e y   d y - ∫ - 1 1 y 2 d y + ∫ - 1 1 2 d y

Resolvendo:

A = e y - 1 1 - y 3 3 - 1 1 + 2 y - 1 1

Aplicando os limites de integração:

A = e 1 - e - 1 - 1 3 - - 1 3 + 2 - - 2

Calculando tudinho, temos:

A = e - 1 e + 10 3

Prontinho!

Resposta

A = e - 1 e + 10 3

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