Enunciado

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18

Dentro do círculo r = 3 a cos ⁡ θ e fora da cardioide r = a 1 + cos ⁡ θ ,   a > 0 .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, primeiro vamos encontrar a figura a partir do geogebra para entender do que se trata e delimitar os limites e depois, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 ( r a 2 - r b 2 ) d θ

Essa é a nossa figura:

Temos 2 regiões distintas com limites diferentes, vamos calcula-los então:

r = r

3 acos ⁡ θ = a ( 1 + cos ⁡ θ )

cos ⁡ θ = 1 2

θ = π 3

Portanto, π / 3 é o nosso ponto de intersecção. Assim, os limites vão de 0 a π 3 , ainda pela questão da simetria do eixo y temos que multiplicar a área por 2.

Passo 2

A = 2 ∫ 0 π 3 1 2 3 acos ⁡ θ 2 - a 2 1 + cos ⁡ θ 2 d θ

A = ∫ 0 π 3 9 a 2 cos 2 ⁡ θ - a 2 - 2 a 2 cos ⁡ θ - a 2 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 3 8 a 2 cos 2 ⁡ θ - 2 a 2 cos ⁡ θ - a 2 d θ

A = ∫ 0 π 3 8 a 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 - 2 a 2 cos ⁡ θ - a 2 d θ

A = ∫ 0 π 3 4 a 2 + 4 a 2 cos ⁡ 2 θ - 2 a 2 cos ⁡ θ - a 2 d θ = ∫ 0 π 3 3 a 2 + 4 a 2 cos ⁡ 2 θ - 2 a 2 cos ⁡ θ d θ

A = ∫ 0 π 3 3 a 2 d θ + ∫ 0 π 3 4 a 2 cos ⁡ 2 θ d θ - ∫ 0 π 3 2 a 2 cos ⁡ θ d θ

A = 3 a 2 θ + 2 a 2 s e n   2 θ - 2 a 2 s e n   θ 0 π 3

A = π a 2 - 0 + 2 a 2 ⋅ 1 2 - 0 - 2 a 2 ⋅ 3 2 + 0

A = a 2 π + 1 - 3  

Bora para a próxima!

Resposta

A = a 2 π + 1 - 3  

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