Enunciado

Dê algumas parametrizações típicas para retas, círculos, parábolas, elipses e hipérboles. Quanto uma curva parametrizada poderia ser diferente do gráfico de sua equação cartesiana?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema precisamos apenas definir algumas parametrizações para curvas genéricas. E distinguir a curva parametrizada do seu gráfico cartesiano. Bora lá?

Retas:

Digamos que temos uma equação de uma reta sendo a x + b y =   c . Então, algumas equações paramétricas para esta reta seriam:

x = x 0 + m ∙ t   ;   y = y 0 + n ∙ t

x = a cos 2 ⁡ θ   ;   y = b s en 2 ⁡ θ

Círculos:

Digamos que temos uma equação de um círculo sendo x - h 2 + y - k 2 = r 2 . Então, algumas equações paramétricas para este círculo seriam:

x = cos ⁡ θ   ;   y = sen ⁡ θ

x = r cos ⁡ θ   ;   y = r sen ⁡ θ

x = r cos ⁡ ( k θ )   ;   y = r sen ⁡ ( k θ )

Parábolas:

Digamos que temos uma equação de uma parábola sendo y - y 0 2 = 4 a ( x - x 0 ) . Então, uma das equações paramétricas para essas parábolas ficariam na forma de:

x = x 0 + ⁡ a t ²   ;   y = y 0 + ⁡ 2 a t

Elipses

Digamos que temos uma equação de uma elipse sendo x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Então, uma equação paramétrica para essa elipse seria:

x = a cos ⁡ ( k θ )   ;   y = b sen ⁡ ( k θ )

Hipérboles

Digamos que temos uma equação de uma hipérbole sendo x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. Então, uma equação paramétrica para essa hipérbole seria:

x = a s ec ⁡ ( k θ )   ;   y = b ta n ⁡ ( k θ )

Por fim, a curva parametrizada pode ser ligeiramente diferente devido a restrições de domínio para a equação cartesiana, caso não haja restrição têm-se o mesmo gráfico.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva: r = 2 + s e n θ r = 3 s e n θ
Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado. r = c o s θ , 0 ≤ θ ≤ π 6
Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado. r = 1 θ , π / 2 ≤ θ ≤ 2 π
Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.3. r = s e n θ + c o s θ , 0 ≤ θ ≤ π
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.26. r = 1 + c o s θ , r = 2 - c o s θ