Enunciado

Cone O segmento de reta que une a origem ao ponto (h, r) é girado sobre o eixo x para gerar um cone de altura h e base de raio r. Encontre a área de superfície do cone com as equações paramétricas x = h t , y = r t ,   0 ≤ t ≤ 1 . Confira seu resultado com a fórmula geométrica: Á r e a = π r (geratriz).

Passo 1

Fala, galera! Ficou um pouco confuso nesta questão? Então, vem comigo resolver mais uma!

Essa questão na verdade é bem parecida com a anterior, então vamos seguir mais ou menos o mesmo raciocínio. Vamos começar tentando entender como a parametrização do enunciado se comporta. Em t = 0 , temos x = y = 0 e, para t = 1 , temos x = h ,   y = r . Como a reta é girada em torno do eixo x , vamos usar a fórmula

S = ∫ 0 1 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Lembrando que essa é a fórmula para quando a curva é girada em torno do eixo x . Se for em torno do eixo y , a gente troca y por x na fórmula da área.

Passo 2

Para usar a fórmula do Passo 1, a primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas

d x d t = d d t ( h t ) =   h  

d y d t = d d t (   r t ) =   r  

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = h 2 + r 2

Tudo tranquilo até agora? Então, vamos dar continuidade!

Passo 3

Agora, calculamos a integral

S = ∫ 0 1 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t   = ∫ 0 1 2 π ⋅ r t ⋅ h 2 + r 2   d t

S = 2 π r   h 2 + r 2 ∫ 0 1 t d t   = 2 π r   h 2 + r 2   t 2 2 0 1  

S = 2 π r   h 2 + r 2 1 2 = π r   h 2 + r 2    

Aqui, temos que explicar que no enunciado do livro temos um erro de digitação. Na verdade, a área de superfície do cone é S = π r R , onde R é a geratriz, ou seja, a medida da “diagonal” que é justamente h 2 + r 2 .

É só isso, pessoal! Gostaram? Então, nos vemos na próxima!

Resposta

S = π r   h 2 + r 2    

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Escreva graficamente a curva e encontre a área que ela encerra.13. r = 2 + s e n 4 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.24. r = 1 - s e n θ , r = 1
Encontre a área da região que está dentro das duas curvas:29. r = 3 s e n θ , r = 3 c o s θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.27. r = 3 c o s θ , r = 1 + c o s θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.25. r 2 = 8 c o s 2 θ , r = 2