Enunciado

Encontre as assindotas horizontal e vertical de cada curva. Se você tiver um dispositivo gráfico, confira pela curva gráfica as assindotas estimadas:

y = 2 x 2 + 1 3 x 2 + 2 x - 1

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos a seguinte curva:

y = 2 x 2 + 1 3 x 2 + 2 x - 1

E o enunciado pede pra a gente encontrar as suas as assíntotas horizontais e verticais e depois confirmar que o cálculo está certo esboçando o gráfico da função!

Para acharmos as assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para x tendendo a e - ∞ Já as assíntotas verticais geralmente estão relacionados a um ponto onde a nossa função não esta definida.

Bora colocar a mão na massa então!

Passo 2

Começando pelas assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para e - ∞ .

l i m x → ∞ = 2 x 2 + 1 3 x 2 + 2 x - 1

Concorda comigo que quando x → ∞ temos:

2 x 2 ≫ 1

3 x 2 ≫ 2 x ≫ 1

Então vamos reescrever o nosso limite assim:

l i m x → ∞ 2 x 2 3 x 2 = 2 3

Agora para x tendendo pra - ∞ temos a mesma resposta:

l i m x → - ∞ 2 x 2 3 x 2 = 2 3

Então y = 2 3 é uma assíntota horizontal!

Passo 3

Para calcular a assíntota vertical a gente vai atrás de pontos onde a função não pode ser calculada:

y = 2 x 2 + 1 3 x 2 + 2 x - 1

Nesse caso não podemos ter o denominador igual a zero, então:

3 x 2 + 2 x - 1 = 0

x = - 2 ± 2 2 - 4 3 - 1 2 × 6

x = - 1

x = 1 3

Quando o denominador da função se aproxima de zero y assume valores muito altos, que podem ser negativos ou positivos!

Vamos calcular pra conferir:

l i m x → - 1 + = 2 x 2 + 1 3 x 2 + 2 x - 1 = - ∞

l i m x → - 1 - = 2 x 2 + 1 3 x 2 + 2 x - 1 = ∞

l i m x → 1 3 + = 2 x 2 + 1 3 x 2 + 2 x - 1 = ∞

l i m x → 1 3 - = 2 x 2 + 1 3 x 2 + 2 x - 1 = - ∞

Portanto x = 1 3 e x = - 1 são assíntotas verticais!

Passo 4

Agora vamos ver o gráfico pra conferir!

Certinho!!

Resposta

A H = 2 3

A V = 1 3 ;   - 1

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