Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 53
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximos e mínimos locais.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de .
Passo 1
Vamos resolver por ordem dos itens, beleza?
No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.
Primeiro, vamos achar assíntota horizontal,
é assíntota horizontal .
Não tem assíntota vertical
Passo 2
Vamos resolver o item b) agora.
No item a) precisamos achar onde cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontra-los.
Derivando , usando a regra do produto, temos que
Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos.
Ou seja,
Precisamos que
Passo 3
Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira e obter os máximos e mínimos (ou não hahah)
Temos que
- se
- se
(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).
Pelo teste da primeira derivada, então é crescente em e decrescente em
Passo 4
Respondendo o item c)...
Vamos usar o item anterior, olha só!
muda de crescente para decrente em , então é um ponto de máximo local. Não existe mínimo .
Passo 5
Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.
Usando a regra da cadeia, temos que
Arrumando as contas,
Perceba que nosso primeiro candidato a ponto de inflexão é pois nele a está mal definida. Vamos achar o resto agora,
Ou seja
Daí,
Isolando
Ou seja,
Temos dois candidatos .
Passo 6
Agora temos que analisar o que acontece nas proximidades do ponto que encontramos no passo anterior, para verificar se ele é mesmo um ponto de inflexão. Vamos lá!
- se
- se
- se
(você pode verificar isso pegando números menores que 6 e aplicando na derivada).
é côncava para cima em e É côncava para baixo em . , são pontos de inflexão.
Passo 7
Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!
Resposta
muda de crescente para decrente em , então é um ponto de máximo local. Não existe mínimo . é côncava para cima em e É côncava para baixo em . , são pontos de inflexão.