Enunciado

  1. Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
  2. Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
  3. Encontre os valores máximos e mínimos locais.
  4. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
  5. Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de f .

f x = e - x 2

Passo 1

Vamos resolver por ordem dos itens, beleza?

No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.

Primeiro, vamos achar assíntota horizontal,

lim x → ± ∞ ⁡   e - x 2 = 0    

y = 0 é assíntota horizontal .

Não tem assíntota vertical

Passo 2

Vamos resolver o item b) agora.

No item a) precisamos achar onde f cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontra-los.

Derivando f , usando a regra do produto, temos que

f ' x = e - x 2 ( - 2 x )  

Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos.

f ' x = 0

Ou seja,

e - x 2 ( - 2 x ) = 0

Precisamos que

x = 0

Passo 3

Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira e obter os máximos e mínimos (ou não hahah)

Temos que

  1. f ' x > 0   se   x ∈ - ∞ , 0  
  2. f ' x < 0 se x ∈ 0 , ∞  

(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).

Pelo teste da primeira derivada, então f é crescente em - ∞ , 0     e decrescente em 0 , ∞   .

Passo 4

Respondendo o item c)...

Vamos usar o item anterior, olha só!

f muda de crescente para decrente em x = 0 , então ( 0 , f 0 ) é um ponto de máximo local. Não existe mínimo .

Passo 5

Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.

Usando a regra da cadeia, temos que

f ' ' x = e - x 2 - 2 x + 2 x   e - x 2 - 2 x

Arrumando as contas,

f ' ' ( x ) = - 2 e - x 2 1 - 2 x 2

Perceba que nosso primeiro candidato a ponto de inflexão é x = 0 , pois nele a f ' ' está mal definida. Vamos achar o resto agora,

f ' ' = 0

Ou seja

- 2 e - x 2 1 - 2 x 2 = 0

Daí,

1 - 2 x 2 = 0

Isolando x ,

x 2 = 1 2

Ou seja,

x = ± 1 2  

Temos dois candidatos x =   ± 1 2   .

Passo 6

Agora temos que analisar o que acontece nas proximidades do ponto que encontramos no passo anterior, para verificar se ele é mesmo um ponto de inflexão. Vamos lá!

  1. f ' ' x > 0   se   x ∈ - ∞ ,   1 2  
  2. f ' ' x > 0   se x ∈ 1 2 , ∞  
  3. f ' ' x < 0   se x ∈ - 1 2 , 1 2

(você pode verificar isso pegando números menores que 6 e aplicando na derivada).

f   é côncava para cima em - ∞ ,   1 2   e 1 2 , ∞   .   É côncava para baixo em - 1 2 , 1 2 . x = ±   1 2   , são pontos de inflexão.

Passo 7

Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!

Resposta

f muda de crescente para decrente em x = 0 , então ( 0 , f 0 ) é um ponto de máximo local. Não existe mínimo . f   é côncava para cima em - ∞ ,   1 2   e 1 2 , ∞   .   É côncava para baixo em - 1 2 , 1 2 . x = ±   1 2   , são pontos de inflexão.

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