Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 52
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximos e mínimos locais.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de .
Passo 1
Vamos resolver por ordem dos itens, beleza?
No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.
Primeiro, vamos achar assíntota horizontal,
é assíntota horizontal .
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Como
é assíntota vertical
Passo 2
Vamos resolver o item b) agora.
No item b) precisamos achar onde cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontrá-los.
Derivando , usando a regra do produto, temos que
Organizando as contas,
Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos. Já temos o primeiro, pois torna mal definida.
Agora, vamos encontrar o resto.
Não tem solução, pois E mais, perceba que é sempre crescente pois sempre.
Passo 3
Respondendo o item c)...
Como a derivada não troca de sinal, não existe mínimo e nem máximo.
Passo 4
Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.
Usando a regra do quociente, temos que
Arrumando as contas,
Perceba que nosso primeiro candidato a ponto de inflexão é pois nele a está mal definida. Vamos achar o resto agora,
Ou seja
Colocando em evidência,
Temos que
Aplicando o
Temos o candidatos
Passo 5
Agora temos que analisar o que acontece nas proximidades do ponto que encontramos no passo anterior, para verificar se ele é mesmo um ponto de inflexão. Vamos lá!
- se
- se
(você pode verificar isso pegando números menores que 6 e aplicando na derivada).
é côncava para cima em . É côncava para baixo em . Temos que , é ponto de inflexão.
Passo 6
Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!
Resposta
é sempre crescente, não tem máximo e nem mínimo.é côncava para cima em. É côncava para baixo em . Temos que , é ponto de inflexão.