Enunciado

  1. Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
  2. Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
  3. Encontre os valores máximos e mínimos locais.
  4. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
  5. Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de f .

f x = e x 1 - e x

Passo 1

Vamos resolver por ordem dos itens, beleza?

No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.

Primeiro, vamos achar assíntota horizontal,

lim x → - ∞ ⁡   e x 1 - e x = 0

y = 0 é assíntota horizontal .

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Como x = 0 ∉ D f

lim x → 0 ⁡   e x 1 - e x = ∞

x = 0 é assíntota vertical

Passo 2

Vamos resolver o item b) agora.

No item b) precisamos achar onde f cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontrá-los.

Derivando f , usando a regra do produto, temos que

f ' x = e x 1 - e x - e x 1 - e x 2

Organizando as contas,

f ' x = e x 1 - e x 2

Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos. Já temos o primeiro, pois x = 0 torna f ' mal definida.

Agora, vamos encontrar o resto.

f ' x = 0

Não tem solução, pois e x > 0   .   E mais, perceba que f é sempre crescente pois f ' > 0 sempre.

Passo 3

Respondendo o item c)...

Como a derivada não troca de sinal, não existe mínimo e nem máximo.

Passo 4

Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.

Usando a regra do quociente, temos que

f ' ' x = e x 1 - e x 2 - ( e x ) ( 2 1 - e x - e x 1 - e x 4

Arrumando as contas,

f ' ' ( x ) = e x - e 3 x 1 - e x 4

Perceba que nosso primeiro candidato a ponto de inflexão é x = 0 , pois nele a f ' ' está mal definida. Vamos achar o resto agora,

f ' ' = 0

Ou seja

e x - e 3 x = 0  

Colocando e x em evidência,

e x 1 - e 2 x = 0  

Temos que

e 2 x = 1  

Aplicando o l n ,

x = 0    

Temos o candidatos x = 0

Passo 5

Agora temos que analisar o que acontece nas proximidades do ponto que encontramos no passo anterior, para verificar se ele é mesmo um ponto de inflexão. Vamos lá!

  1. f ' ' x > 0   se   x ∈ - ∞ ,   0  
  2. f ' ' x < 0   se x ∈ 0 , ∞  

(você pode verificar isso pegando números menores que 6 e aplicando na derivada).

f   é côncava para cima em - ∞ ,   0   . É côncava para baixo em 0 , ∞   . Temos que x = 0   , é ponto de inflexão.

Passo 6

Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!

Resposta

f é sempre crescente, não tem máximo e nem mínimo. f   é côncava para cima em - ∞ ,   0   . É côncava para baixo em 0 , ∞   . Temos que x = 0   , é ponto de inflexão.

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