Enunciado

(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f .

f x = x 2 + 1 - x

Passo 1

Item a:

A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de f quando x converge para o valor onde a função não está definida, e como f está definida para todo x real, não temos assíntotas verticais.

As assíntotas horizontais são os valores que f converge quando x tende aos infinitos:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x =   0

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x = ∞

Passo 2

Item b:

Se

f x = x 2 + 1 - x

Então:

f ' x = x x 2 + 1 - 1

Para f crescente:

f ' x > 0

x x 2 + 1 - 1 > 0

Não existe solução.

Para f decrescente:

f ' x < 0

x x 2 + 1 - 1 < 0

Para todo x

Então f é decrescente em todo o seu domínio.

Passo 3

Item c:

Se f decresce em todo o seu domínio, não possui máximo ou mínimo local.

Passo 4

Item d:

Se

f ' x = x x 2 + 1 - 1

Então:

f ' ' x = 1 x 2 + 1 x 2 + 1

Para f com concavidade para cima:

f ' ' x > 0

1 x 2 + 1 x 2 + 1 > 0

Para todo x

Então, f possui concavidade para cima em todo o seu domínio. E consequentemente não tem ponto de inflexão.

Passo 5

Item e:

Pelas informações obtidas temos o gráfico:

Resposta

(a)

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x =   0

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x = ∞

(b) f é decrescente em todo o seu domínio.

(c) f não possui máximo ou mínimo local.

(d) f possui concavidade para cima em todo o seu domínio. E consequentemente não tem ponto de inflexão.

(e)

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