Enunciado

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desse livro

(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f .

f x = e x 1 + e x

Passo 1

Item a:

A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de f quando x converge para o valor onde a função não está definida, e como f está definida para todo x real, não temos assíntotas verticais.As assíntotas horizontais são os valores que f converge quando x tende aos infinitos:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e x 1 + e x = 1  

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ e x 1 + e x =   0

Passo 2

Item b:

Se

f x = e x 1 + e x

Então:

f ' x = e x 1 + e x 2

Para f crescente:

f ' x > 0

e x 1 + e x 2 > 0

Para todo x real

Então f é crescente em todo o seu domínio.

Passo 3

Item c:

Se f é crescente em todo o seu domínio, então não possui máximo nem mínimo local.

Passo 4

Item d:

Se

f ' x = e x 1 + e x 2

Então:

f ' ' x = e x 1 - e x 1 + e x 3

Para f com concavidade para cima:

f ' ' x > 0

e x 1 - e x 1 + e x 3 > 0

1 - e x > 0

x < 0

Para f com concavidade para baixo:

f ' ' x < 0

e x 1 - e x 1 + e x 3 < 0

1 - e x < 0

x > 0

Então, no intervalo - ∞ , 0 , f possui concavidade voltada para cima e no intervalo 0 , ∞ f possui concavidade para baixo.

O ponto de inflexão então é x = 0 .

Passo 5

Item e:

Pelas informações obtidas temos o gráfico:

Resposta

(a)

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e x 1 + e x = 1  

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ e x 1 + e x =   0

(b) f é crescente em todo o seu domínio.

(c) f não possui máximo nem mínimo local.

(d) No intervalo - ∞ , 0 , f possui concavidade voltada para cima e no intervalo 0 , ∞ f possui concavidade para baixo.

O ponto de inflexão então é x = 0 .

(e)

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