Enunciado

(a) Use um gráfico de f para estimar os valores máximo e mínimo. Então, encontre os valores exatos.

(b) Estime o valor de x em que f cresce mais rapidamente. Então, encontre o valor exato.

f x = x + 1 x 2 + 1

Passo 1

Item a:

O gráfico de f é:

Podemos ver que f tem um valor máximo, próximo de 1,4 para um valor de x próximo de 1 .

Para achar o valor exato, buscamos o valor de x próximo de 1 em que a derivada de f é nula, então:

Se

f x = x + 1 x 2 + 1

Então:

f ' x = - x + 1 x 2 + 1 x 2 + 1

Para f ' x = 0 .

- x + 1 x 2 + 1 x 2 + 1 = 0

- x + 1 = 0

x = 1

Logo, o ponto de máximo ocorre em x = 1 e o valor de máximo é:

f 1 = 1 + 1 1 2 + 1

f 1 = 2 2

f 1 = 2 ≈ 1,4142

Passo 2

Item b:

Temos que f cresce mais rápido em algum lugar de x próximo de - 0,25 .

Para achar o valor exato, sabemos que uma função cresce mais rápido quando possui a maior inclinação e, portanto, a maior derivada. Logo, a derivada segunda é nula para que f ' seja máxima:

Se

f ' x = - x + 1 x 2 + 1 x 2 + 1

Então:

f ' ' x = - 1 x 2 + 1 x 2 + 1 - 3 x x 2 + 1 - x + 1 x 2 + 1 x 2 + 1 2

f ' ' x = x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 - 3 x - x + 1 x 2 + 1 x 2 + 1 2

Então, para f ' ' x = 0 :

x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 - 3 x - x + 1 x 2 + 1 x 2 + 1 2 = 0

- x 2 - 1 - 3 x - x + 1 = 0

- x 2 - 1 + 3 x 2 - 3 x = 0

2 x 2 - 3 x - 1 = 0

x = 3 ± 17 4

E como queremos algum valor de x próximo de - 0,25 :

x = 3 - 17 4 ≈ - 0,2808

Então f cresce mais rápido em x = 3 - 17 4 .

Resposta

(a) Ponto de máximo local é 1 , 2 . (b)   f cresce mais rápido em x = 3 - 17 4 .

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