Enunciado

Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da seguinte função:

f x = x x 2 + x - 12

Passo 1

Vamos procurar as assíntotas horizontais e verticais da função. Pra encontrar as horizontais, é molezinha: vamos fazer o limite da função com x tendendo ao infinito e a menos infinito. O valor que encontrarmos será o y da reta que é a assíntota horizontal.

Primeiro vamos fatorar aquele denominador que tá pedindo.

f x = x x 2 + x - 12 = x x + 4 x - 3

Beleza, vamos começar calculando o limite.

Pro positivo:

lim x → + ∞ ⁡ x x + 4 x - 3 = lim x → + ∞ ⁡ x ( x ) ( x )

Pra tirar raiz com índice par, tem que sair com módulo!

lim x → + ∞ ⁡ x x x = l i m x → + ∞ x x = l i m x → + ∞ x x

l i m x → + ∞ x x = 1

Pro negativo:

lim x → - ∞ ⁡ x x + 4 x - 3 = lim x → - ∞ ⁡ x ( x ) ( x )

lim x → - ∞ ⁡ x x x = l i m x → - ∞ x x = l i m x → - ∞ x - x

l i m x → + ∞ x - x = - 1

Beleza, então encontramos as assíntotas horizontais:

y = ± 1

Passo 2

Para a assíntota vertical, a gente vai buscar os valores que levam a função pro infinito, tanto faz se pro lado positivo ou negativo. Pra isso a gente vai catar lá nos valores que a gente vê que tem um comportamento diferente. Bom, nessa questão dá pra ver que tem alguma coisa no x = 3 e no x = - 4 , né? Vamos calcular os limites nesses x então!

Para x → 3 + :

lim x → 3 + ⁡ x x + 4 x - 3 = 3 + 7 + × 0 + = 3 + 0 + = + ∞

Para x → 3 - :

lim x → 3 - ⁡ x x + 4 x - 3 = 3 - 7 - × 0 - = 3 - 0 -

Não dá pra calcular raiz de número negativo, mas como já tem a assíntota pra x = 3 + , não tem problema. Então realmente, a reta x = 3 é uma assíntota vertical, porque pra esse valor a função vai pro infinito.

Para x → - 4 + :

lim x → - 4 + ⁡ x x + 4 x - 3 = - 4 + 0 + × - 7 +

Raiz de número negativo não rola aqui!

Para x → - 4 - :

lim x → - 4 - ⁡ x x + 4 x - 3 = - 4 - - 7 - × 0 - = - 4 - 0 + = - ∞

Então realmente, a reta x = - 4 é uma assíntota vertical, porque pra esse valor a função vai pro infinito.

Resposta

As assíntotas são x = 3 , x = - 4 e y = 1 e y = - 1 .

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