Enunciado

Fazer o gráfico das funções seguintes e determinar os respectivos limites. Para melhor visualização, traçar, também, o gráfico das retas indicadas. A seguir, determinar analiticamente os limites dados e comparar os resultados.

f x = s e n 3 x 3 x

y = 1

lim x → 0 ⁡ f ( x )

Passo 1

Primeiro vamos traçar o gráfico da função, já com a reta y = 1 marcada.

Beleza, então visualmente já conseguimos determinar que:

lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 3 x = 1

E pra valores de x maiores, ela tá cada vez mais tendendo pra 0 .

lim x → ∞ ⁡ s e n 3 x 3 x = 0

lim x → - ∞ ⁡ s e n 3 x 3 x = 0

Passo 2

Vamos confirmar com as contas. O primeiro limite que a gente viu é o próprio limite fundamental, mas em vez de x em cima e embaixo, tem 3 x em cima e embaixo, o que não muda nada! Então esse a gente não vai demonstrar, tá bom? Pros outros, com x tendendo ao infinito, o que a gente tem é uma função limitada ( s e n 3 x ), que só vai de - 1 a 1 , sendo dividida por um valor enorme! Esses dois limites tendem pra 0 . Confirmado!

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 3 x = 1

lim x → ∞ ⁡ s e n 3 x 3 x = 0

lim x → - ∞ ⁡ s e n 3 x 3 x = 0

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