Enunciado

  1. Encontre o centro de massa de uma solido de densidade constante delimitado inferiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e superiormente plano z=4
  2. Encontre o plano z = c que divide o solido em duas partes de igual volume. Esse plano não passa pelo centro de massa.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Do enunciado temos que:

x ∈ 0,2

y ∈ 0 , 4 - x 2

z ∈ [ x 2 + y 2 , 4 ]

De forma que temos, por exemplo para a massa:

M = 4 ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ x 2 + y 2 4 d z   d y   d x

E convém a gente trabalhar em coordenadas cilíndricas. Sendo assim:

M = 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ r 2 4 r   d z   d r   d θ

Passo 2

4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r z r 2 4 d r   d θ

4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 4 - r 2 d r   d θ

4 ∫ 0 π 2 2 r 2 0 2 - 1 4 r 4 0 2 d θ

4 ∫ 0 π 2 4 θ

16 θ 0 π 2

M = 8 π

Para M x y :

Passo 3

M x y = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 z r   d z   d r   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 z 2 r 2 4 d r   d θ    

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 16 - r 4 d r   d θ

∫ 0 2 π 4 r 2 0 2 - 1 12 r 6 0 2 d θ

2 5 3 ∫ 0 2 π d θ

2 5 3 θ 0 2 π

M x y = 2 6 π 3

Repare que por simetria temos que M x z = M y z = 0

Assim:

z c . m = 2 6 π 3 8 π = 8 3

Resposta

x c . m = y c . m = 0

z c . m = 8 3

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