Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C y 3 d x - x 3 d y

C é o círculo x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Como C é uma curva fechada, pelo Teorema de Green temos

∫ C y 3 d x - x 3 d y = ∬ D ∂ ∂ x - x 3 - ∂ ∂ y y 3 d A

= ∬ D ( - 3 x 2 - 3 y 2 ) d A = - 3 ∬ D ( x 2 + y 2 ) d A

Podemos resolver usando coordenadas polares, usando as variações

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

E temos

- 3 ∬ D x 2 + y 2 d A = - 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2   r   d r d θ

= - 3 ∫ 0 2 r 3 d r ∫ 0 2 π d θ = - 3 2 4 4 2 π

= - 24 π

Resposta

= - 24 π

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Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
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Calcule ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y =x 2 + y .3 x - y 2 e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6.
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