Enunciado

Encontre o comprimento da curva.

vec r (t) = t^2 hat i + 9 t hat j + 4 t^(3 // 2) hat k 1 <= t <= 4

Passo 1

O comprimento de uma curva é dado pela seguinte relação:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t

Para a nossa curva, temos:

x = t^2 , y = 9 t e z = 4 t^(3 // 2)

a = 1 e b = 4

Passo 2

Calculando as derivadas que estão dentro da raíz na integral:

(d x)/(d t) = 2 t

(d y)/(d t) = 9

(d z)/(d t) = (12)/(2) t^(1 // 2 ) = 6 t^(1 // 2 )

Passo 3

Portanto o comprimento da curva é:

L = int_1^4 sqrt((2 t)^2 + (9)^2 + (6 t^(1 // 2 ))^2) d t = int_1^4 sqrt(4 t ² + 81 + 36 t) d t

L = int_1^4 sqrt((2 t + 9)^2) d t = int_1^4 sqrt((2 t + 9)^2) d t = int_1^4 (2 t + 9) d t

L = (4^2 + 9 * 4) - (1^2 + 9 * 1) = 42

Resposta

L = 42

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