Enunciado

Use o teorema 10 para encontrar a curvatura.

vec r (t) = t hat i + t ² hat j + e^t hat k

Passo 1

O teorema nos diz que a curvatura de uma curva é dada por:

k (t) = (| vec r^' (t) xx vec r^(' ') (t) |)/(|vec r^' (t)|^3)

Desta forma precisamos encontrar quem é vec r^' (t) e vec r^(' ') (t) , que são a primeira e a segunda derivada de vec r (t) . Mas como vec r (t) é uma função vetorial a derivada da função corresponde a derivada de cada componente i , j e k .

Passo 2

Calculando a primeira derivada:

vec r^' ( t ) = 1 hat i + 2 t hat j + e^t hat k

Calculando a segunda derivada:

vec r^(' ' (t)) = 2 hat j + e^t hat k

Passo 3

Calculando k ( t ) :

k (t) = (| vec r^' (t) xx vec r^(' ') (t) |)/(|vec r^' (t)|^3) = (| 〈1,2 t , e^t〉 xx 〈0,2 , e^t〉 |)/(|〈1,2 t , e^t〉|^3)

O produto vetorial pode ser calculado a partir do determinante da matriz:

〈1,2 t , e^t〉 xx 〈0,2 , e^t〉 = [[[hat i,hat j,hat k],[1,2,t,e^t],[0,2,e^t]]] = 〈2 e^t ( t - 1 ) , e^t , 2〉

O módulo de um vetor é:

|vec u| = sqrt(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2)

Então:

|〈2 e^t (t - 1) , e^t , 2〉| = sqrt(4 e^(2 t) (t - 1)^2 + e^(2 t) + 4)

|〈1,2 t , e^t〉| = sqrt(1 + 4 t^2 + e^(2 t))

Desta forma k ( t ) é:

k (t) = (sqrt(4 e^(2 t) (t - 1)^2 + e^(2 t) + 4))/((1 + 4 t^2 + e^(2 t))^(3 // 2))

Resposta

A curvatura é:

k (t) = (sqrt(4 e^(2 t) (t - 1)^2 + e^(2 t) + 4))/((1 + 4 t^2 + e^(2 t))^(3 // 2))

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Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I - V I ). Justifique sua escolha. x = cos ⁡ t,y = s e nt,z = ln ⁡ t
Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva. r t = t ,ts e nt , t cos ⁡ t
Tente esboçar à mão a intersecção do cilindro parabólico y = x 2 com a metade superior do elipsoide x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 16 . Escreva então as equações paramétricas para a curva e utilize um computad