Encontre o comprimento exato da curva.

y = raiz(x-x^2) + sen^(-1)(raiz(x))

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema?! O enunciado pede pra a gente calcular o comprimento exato da seguinte curva:

y = x - x 2 + s e n - 1 x

O comprimento da curva é dado por:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

O enunciado não nos deu os limites de integração de cara, mas a raiz não pode ter resultado negativo, então:

x - x 2 ≥ 0

x x - 1 ≥ 0

Logo:

0 ≤ x ≤ 1

Então teremos:

L = ∫ 0 1 1 + y ' 2 d x

Passo 2

Agora vamos derivar a função:

y = x - x 2 + s e n - 1 x

(lembrando que s e n - 1 x = a r c s e n   x ) e a sua derivada é igual a:

d d x sin - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

Pra calcular a derivada de s e n - 1 x usamos a regra da cadeia, fazendo u = x :

d d x sin - 1 ⁡ u = 1 1 - u 2 = 1 1 - x 2 = 1 1 - x

d d x sin - 1 ⁡ x = 1 2 x 1 1 - x = 1 2 x - x 2

Para calcular a derivada de x - x 2 também usamos regra da cadeia:

d d x sin - 1 ⁡ x = 1 2 x - x 2 1 - 2 x

Então temos:

y ' = 1 2 x - x 2 + 1 - 2 x 2 x - x 2 = 2 - 2 x 2 x - x 2

Dando uma arrumadinha:

y ' =   1 - x x - x 2

y ' = 1 - x 2 x - x 2 = 1 - x 2 x ( 1 - x ) = 1 - x x

Passo 3

Lembrando que:

L = ∫ 0 1 1 + y ' 2 d x

Substituindo:

L = ∫ 0 1 1 + 1 - x x d x

Podemos dar uma arrumadinha:

L = ∫ 0 1 1 + 1 x - x x d x = ∫ 0 1 1 x d x = ∫ 0 1 1 x d x

L =   ∫ 0 1 x - 1 2   d x

Integrando:

L =   ∫ 0 1 x - 1 2   d x = 2 x 0 1

L =   2

𝑃rontinho!

Resposta

L = 2

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