Encontre o comprimento exato da curva.

y = 1 - e^(-x), 0 <= x <= 2

Passo 1

O comprimento da curva é dado por:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Vamos derivar a função então...

y ' = - e - x ( - x )

y ' = e - x

Aplicamos na fórmula agora:

Passo 2

L =   ∫ 0 2 1 - e - x 2   d x

L =   ∫ 0 2 1 - e - 2 x d x

Fazendo u = - 2 x ...

L = - 1 2 ∫ 1 - e u   d u

Fazendo v = 1 - e u ...

L = - 1 2 ∫ v v - 1   d v

Fazendo w = v ...

2 - 1 2 ∫ w 2 w 2 - 1   d w

Integrando em w …

- ln ⁡ w + 1 2 + w + ln ⁡ w - 1 2

Passo 3

Agora a gente volta para a variável x ...

= 2 v - ln ⁡ v + 1 + ln ⁡ x - 1

=   - ln ⁡ 1 - e u + 1 + ln ⁡ ( 1 - e u - 1 ) + 2 √ ( 1 - e u )      

-   ln ⁡ ( 1 - e - 2 x - 1 )     2 + ln ⁡ ( 1 - e - 2 x + 1 ) 2 - 1 - e - 2 x 2 0

(Respira...)

Passo 4

Vamos aplicar os limites de integração agora...

- ln ⁡ ( 1 - e - 4 - 1 ) 2 + ln ⁡ ( 1 - e - 4 + 1 ) 2 - 1 - e - 4

(A outra parte zera)...

Agora acabou!!

Resposta

- ln ⁡ ( 1 - e - 4 - 1 ) 2 + ln ⁡ ( 1 - e - 4 + 1 ) 2 - 1 - e - 4

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