Enunciado

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19.

y = x 1 / 2 - 1 3 x 3 / 2 ; 1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos de curvas.

Podemos determinar o comprimento da curva pedida utilizando:

L = ∫ x 1 x 2 1 + d y d x 2 d x

Para isso, vamos derivar y em relação a x:

d y d x = 1 2 x - 1 / 2 - 1 3 ∙ 3 2 x 1 / 2 = 1 2 x - 1 / 2 - 1 2 x 1 / 2

De modo que:

d y d x 2 = 1 2 x - 1 / 2 - 1 2 x 1 / 2 2 = 1 4 x - 1 - 2 + x

Passo 2

Aplicando na equação do comprimento da curva, teremos que:

L = ∫ 1 4 1 + 1 4 x - 1 - 2 + x d x = ∫ 1 4 1 4 x - 1 + 2 + x d x = ∫ 1 4 1 4 x - 1 / 2 + x 1 / 2 2 d x

Logo:

L = ∫ 1 4 1 2 x - 1 / 2 + x 1 / 2 d x = ∫ 1 4 1 2 x - 1 / 2 d x + ∫ 1 4 1 2 x 1 / 2 d x = x 1 / 2 + x 3 / 2 3 | 1 4

Que nos dá:

L = 4 1 / 2 + 4 3 / 2 3 - 1 1 / 2 + 1 3 / 2 3 = 2 + 4 ∙ 2 3 - 1 + 1 3 = 1 + 7 3 = 10 3

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

10/3

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.int_(- 1)^1 [sen 3 t vec i + (1)/(1 + t^2) vec j + vec k] d t
Seja F → t uma força, dependendo do tempo t , que atua sobre uma partícula entre os instantes t 1 e t 2 . Supondo F → integrável em t 1 , t 2 , o vetor I → = ∫ t 1 t 2 F → td t denomina-se impulso de
2. Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calculea)int_0^1 vec F (t) ^^ vec G (t) d t
Seja vec F : [a , b] - R^n contínua e seja vec G (t) = int_0^t vec F (s) d s , t in [a , b] . Prove que, para todo t in [a , b] ,(d vec G)/(d t) (t) = vec F (t)
Suponha que F → t é a força resultante que atua, no instante t , sobre uma partícula de massa m que se move no espaço. Mostre que o impulso de F → no intervalo t 1 , t 2 é igual à variação da quantida