Enunciado

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19.

x = 3 cos ⁡ θ   e   y = 3 s e n   θ ; 0 ≤ θ ≤ 3 π 2

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos de curvas.

Podemos determinar o comprimento da curva pedida utilizando:

L = ∫ θ 1 θ 2 d x d θ 2 + d y d θ 2 d θ

Para isso, vamos derivar x em relação a θ:

d x d θ = - 3 s e n   θ

De modo que:

d x d θ 2 = - 3 s e n   θ 2 = 9 s e n 2   θ

De forma similar, vamos derivar y em relação a θ:

d y d θ = 3 cos ⁡ θ

De modo que:

d y d θ 2 = 3 cos ⁡ θ 2 = 9 cos 2 ⁡ θ

Passo 2

Daí, temos que:

d x d θ 2 + d y d θ 2 = 9 s e n 2   θ + 9 cos 2 ⁡ θ = 3

Aplicando na equação do comprimento da curva, teremos que:

L = ∫ 0 3 π / 2 3 d θ

Logo:

L = 3 3 π 2 - 0 = 9 π 2

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

9 π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.int_1^2 [3 vec i + 2 vec j + vec k] d t
Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calculeint_0^1 vec F (t) * vec G (t) d t
Calcule.int_(- 1)^1 [sen 3 t vec i + (1)/(1 + t^2) vec j + vec k] d t
Seja F → t uma força, dependendo do tempo t , que atua sobre uma partícula entre os instantes t 1 e t 2 . Supondo F → integrável em t 1 , t 2 , o vetor I → = ∫ t 1 t 2 F → td t denomina-se impulso de
2. Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calculea)int_0^1 vec F (t) ^^ vec G (t) d t